8. Последовательная схема статистического анализа результатов химических измерений

Традиционно в фармакопейном анализе преобладают методы статистического анализа с фиксированным объемом выборки. Наряду с этим в последние годы все ши­ре применяются методы так называемого последовательного (секвенционального) анализа⁶. Использование этих методов имеет смысл в тех случаях, когда выполнение каждого анализа дорого, трудоемко или отнимает много времени, и при этом имеется возможность анализировать результаты последовательно, по мере их поступления.

⁶ См., например, D. Siegmund. Sequential Analysis. Springer-Verlag. 1985.

Частным случаем последовательной схемы является метод проверки с двукрат­ной выборкой. Такой метод применяется в фармакопейном анализе, например, при контроле однородности дозирования: берется первая выборка, и по полученным ре­зультатам партия либо проходит, либо бракуется, либо принимается решение взять вторую выборку. Такая схема позволяет сэкономить (в среднем) число наблюдений, необходимое для принятия решения. Еще более экономична последовательная схема в общем виде. По данным⁷ коэффициент выгоды при сопоставлении с традиционными схемами (фиксированный объем выборки) колеблется между двумя и тремя.

Последовательный критерий для различения двух простых гипотез Но: выборка извлечена из генеральной совокупности f(x, y₀ ,о); Н\. выборка извлечена из генеральной совокупности f(x, y₁ ,о)

предложен Вальдом⁸ (здесь f(x, y , о) - функция плотности вероятности нормального распределения). Критическая статистика у⁽"^} (n - число наблюдений) задается в виде:

₇^м _{= ± ln}^f(Xi_'^¹_'^(J_{) n = 1,2... (8.1)}

ti f(X„ (I2,S)

Область возможных значений критической статистики разбивается на три (а не на две, как в случае выборок фиксированного объема) части:

1. область принятия гипотезы Н₀

g⁽ⁿ⁾ £ In-?— (8.2) 1 - a

2. область принятия гипотезы Н₁

g⁽ⁿ⁾ > In¹^ (8.3) a

3. область продолжения наблюдений

In ^ < g⁽ⁿ⁾ < In — (8 4)

1 - a a

Здесь:

a - погрешность первого рода (вероятность принятия гипотезы H₁ , в то время как на

самом деле верна гипотеза H₀); Р - погрешность второго рода (вероятность принятия гипотезы H₀ , в то время как на

самом деле верна гипотеза H1).

Если результаты n испытаний рассматривать как случайную выборку из гене­ральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению с дисперсией о² (которая предполагается известной из предыдущих экспериментов), то

_r<п) = ь-р⁰£+ JL^O -1²) (8.5) О 2 О

⁷ С.А. Айвазян Теор. вер. и ее примен. - 1959. - Т. 4. - № 1. - С. 87-93.

⁸ А. Вальд. Последовательный анализ. М.: Физматгиз. 1960.

Если значение критической статистики, вычисленное на шаге n, попадает в об­ласть 1), то принимается гипотеза Н₀; если оно попадает в область 2), то принимается гипотеза Н₁; если значение критической статистики попадает в область 3), то произво­дится еще одно измерение. Доказано, что с вероятностью 1 этот процесс заканчивает­ся принятием одной из двух альтернативных гипотез.

Критерий Вальда является оптимальным в том смысле, что среди всех последо­вательных критериев он требует минимального среднего числа наблюдений при за­данных значениях погрешности первого и второго рода.

(8.6а)

(8.6b) (8.6c)

(8.6d)

На практике вычисления могут быть организованы следующим образом. На гра­фик наносят четыре прямые, задаваемые уравнениями, в которых n - номер испыта­ния.

T₀ = в₀ + bn T₁ = a₁ + bn To = ao + bn

i ii

(8.7а) (8.7b)

T₁ = a₁ + b n

В этих уравнениях

^a0 = ^ao = —

2 2

где:

s- стандартное отклонение метода, которое предполагается известным; b и b' - верхний и нижний пределы содержания анализируемого вещества в образце; °v = \у₂ - у₁\ - разность генеральных средних генеральных совокупностей f(x , у₀ ,s) и f(x , у₀ ,s); °j задается экспериментатором и характеризует способность метода разли­чать эти генеральные совокупности.

Прямые (8.6a-8.6d) разбивают плоскость на 5 областей (см. Рис. 8.1). Область 3 - это область принятия гипотезы Н₀; области 1 и 5 - области принятия гипотезы Н₁, об­ласти 2 и 4 - области продолжения наблюдений. Чем меньше s и больше °^ , тем бо­лее узкими являются области 2 и 4 и тем быстрее сходится метод.

Испытания проводятся последовательно. После каждого испытания по оси ор­динат откладывается накопительная сумма полученных результатов. В зависимости от того, куда попадает очередная точка, принимается одно из трех возможных решений: попадание точки в область 3 означает, что образец выдерживает испытание; попада­ние в область 1 или 5 означает, что образец не выдерживает испытание; если точка попадает в область 2 или 4, то испытания должны быть продолжены.

Рис. 8.1. Практическая организация схемы последовательных испытаний

Более конкретно применение секвенционального анализа описано в приме­ре 9.8.