1.3. Доверительные интервалы и оценка их величины.

Если случайная однородная выборка конечного объема п получена в результате последовательных измерений некоторой величины A, имеющей истинное значение m, то среднее этой выборки x следует рассматривать лишь как приближенную оценку А. Достоверность этой оценки характеризуется величиной доверительного интервала x ± Ax, для которой с заданной доверительной вероятностью Р выполняется условие:

(x -Axx )< m <(x + Dx)

(1.14)

Следует отметить, что данный доверительный интервал не характеризует (как это нередко считается) погрешность определения величины ц, поскольку найденная величина x может быть в действительности очень близка к истинному значению \±. Но мы этого истинного значения не знаем. Полученный доверительный интервал характе­ризуют степень неопределенности наших знаний об истинном значении m величины A по результатам последовательных измерений выборки конечного объема n. Поэтому правильно говорить (и далее это будет использоваться) о «неопределенности резуль­татов анализа» (которая характеризуется доверительным интервалом) вместо выра­жения «погрешность результатов анализа», которое нередко не совсем корректно ис­пользуется.

Расчет граничных значений доверительного интервала при известном значении стандартного отклонения s или для выборок большого объема проводят по уравнению

(x ± Ax)= x ±

U(P) x s

(1.15)

предполагая, что варианты, входящие в выборку, распределены нормально. Здесь U(P) - табличное значение функции нормального распределения.

Для выборок небольшого объема граничные значения доверительного интерва­ла рассчитывают с использованием критерия Стьюдента:

(x ± Ax)= x ±

t(P,v) x s

(1.16)

или, с использованием относительных величин:

(1.16а)

где:

^Ру) - табличное значение критерия Стьюдента (см. Таблицу 11.2). Распределе­ние Стьюдента ^Ру) является обобщением нормального распределения U(P) и переходит в него при достаточно большом числе степеней свобо­ды v , т.е. t^y^U^). С учетом этого для единообразия далее везде бу­дет использоваться более часто употребляемое соотношения (1.16) и (1.16а), даже если речь идет об обработке выборок достаточно большого объема.

Полуширины относительных доверительных интервалов единичного (A_x>r) и среднего (Ax_r) результатов часто выражают в процентах к x. В этом случае в выра­жении (1.16а) вместо величины s_r используют RSD , а вместо 1 берут 100%, т.е.:

(100 + A_xr%)= 100± ^t(P,V)xRSD (1.16b) ' vn

Если при измерении одной и той же методикой двух близких значений A были получены две случайные однородные выборки с объемами n и m, то при m < n для выборки объема т справедливо выражение:

_x ± _A = _x ±^t(P,V(n)^{) X S}(n) ₍₁₁₇₎ ^x(m) ±^Ax(m) = ^x(m) ± ^ I¹-¹')

(индекс указывает принадлежность величин к выборке объема m или n).

Выражение 1.17 позволяет оценить величину доверительного интервала средне­го x(_m), найденного, исходя из выборки объема m. Иными словами, доверительный

интервал среднего x(_m) выборки относительно малого объема т может быть сужен

благодаря использованию известных величин s(n) и t(P, v(n)), найденных ранее для вы­борки большего объема п. Более общим подходом является объединение выборок с расчетом объединенного стандартного отклонения и степеней свободы по уравнениям (2.1-2.2). Это стандартное отклонение и соответствующий объединенному числу степе­ней свободы критерий Стьюдента подставляются затем в выражение (1.17).

Аналогично (1.14-.1.16) определяется доверительный интервал результата от­дельного определения. Подставляя n = 1 в выражение 1.16, получаем:

x_j ± A_x = x_j ± t(P,v) x s (1.18)

или, с использованием относительных величин:

^x^ ± Ax,r = ^x^ ± t(P,v ) x s_r (1.18а) x x

Этот интервал является доверительным интервалом результата отдельного оп­ределения. Для него с доверительной вероятностью Р выполняются взаимосвязанные условия:

xj - A_x < m < xj + A_x (1.19) m - Ax < xj < m + Ax (1.20)

Значения и A_x из выражений (1.16) и (1.18) используют при вычислении от­носительных неопределенностей отдельной варианты (e) и среднего результата (e), выражая эти величины в процентах:

e = A_xr x 100% = ^Ax-x100% (1.21)

x

e = A_x/ x 100% = x 100% (1.21a)

Если при измерениях получают логарифмы исходных вариант, выражения (1.16) и (1.18) принимают вид:

_ _ t(P,V) x s_lg gx ± Agx = gx ± _T=—2- (1.22)

gx, ± = lgx_i ± t(P,V) x s_lg (1.23)

Потенцирование выражений (1.22) и (1.23) приводит к несимметричным довери­тельным интервалам для значений x и х^:

antj lg(lg x - A_/gx) < x < antj lg(lg x + A_/gx) (1.24)

antj lg(lg x_j - A_lgx) < x_j < antj lg(lg x_j + A_lgx) (1.25)

где:

_{t(P,V) x sg}

^{Agx=^nr^ (1.26)}

Agx = t(P,V ) x sg (1.27) При этом для нижних и верхних границ доверительных интервалов x и ^ имеем:

e

antjlg(lgx ± A_lgx) -

x

x

x100%

(1.28a)

e =

antjlg(lgxj ± A_gx) - xj

^xj

x 100%

(1.28b)