6.3. Невзвешенное объединение результатов количественного опре- деления

Наиболее простым способом объединения n' оценок для значений М при n' коичественных определениях, является вычисление среднего значения и оценка стандартного отклонения по формуле

s², =— — (6.3.-1)

м n'(n' -1)

а доверительный интервал

M ± tSM (6.3.-2)

где t имеет (n'-1) степеней свободы. Число n' оценок значений М обычно мало, а значение t, соответсвенно, довольно велико.

6.4. Пример определения взешенной средней активности с доверительн1м интервалом

В таблице 6.4.-1 приведено шесть независимых оценок активности одного и того же препарата, а также их доверительные интервалы и число степеней свободы для их дисперсий ошибки. Условия 1,2 и 3, приведенные в Разделе 6.2., выполнены. Нату­ральный логарифм активностей и веса рассчитаны, как описано в Разделе 6.2.

Оценки активностей и доверительные интервалы шесит независимых

Однородность оценок активностей рассчитывают по формуле 6.2.2.-1, в результате получают значение с², равное 4,42 при 5 степенях свободы. Этот результат не является статистически значимым (р=0,49) и, следовательно, все условия для при­менения оценки взвешенной средней активности выполняются.

Взвешенную среднюю активность вычисляют по формуле 6.2.3.-2, в результате получают значение 9,8085.

По формуле 6.2.3.-2 рассчитывают стандартное отклонение, равное 0,00673, а по формуле 6.2.3.-3 вычисляют 95% доверительный интервал 9,7951 - 9,8218, где t имеет 120 степеней свободы.

Взяв антилогарифм, получают значение активности, равное 18187 МЕ/флакон при 95% доверительном интервале от 17946 до 18431 МЕ/флакон.

7. Дополнение

Невозможно дать исчерпывающий обзор статистических методов, используемых при проведении фармакопейных исследований. Тем не менее методы, изложенные в данной статье, удовлетворяют требованиям большинства фармакопейных целей. В данном разделе сделана попытка представить более абстрактный обзор альтернатив­ных или наиболее общих методов статистического анализа. Заинтересованные лица могут также обратиться к специальной литературе по этой теме. В случае использова­ния более специализированных методов статистического анализа, следует обратиться за помощью к квалифицированным специалистам.

7.1. Общие линейные модели

Методы, изложенные в данной статье, могут быть описаны в рамках общих ли­нейных моделей (или обобщенных линейных моделей для того, чтобы включить мето­ды пробит и логит-анализа). Принцип основан на построении линейной матрицы струк­туры Х (или матрицы планирования), в которой каждая строка представляет результа­ты наблюдения, а каждый столбец - один из линейных факторов (препарат, блок, столбец, дозу). Например, в случае схемы латинского квадрата, рассмотренной в Раз­деле 5.1.2, такая матрица состояла бы из 36 строк и 13 столбцов. По одному столбцу на каждый из препаратов, один столбец для доз, пять столбцов на каждый из блоков, за исключением первого, и пять столбцов для каждой строки, за исключением первой. Все столбцы , за исключением одного для доз, заполняют 0 или 1 в зависимости от то­го, связано данное наблюдение с данным фактором или нет. Вектор Y заполняют ре­зультатами наблюдений (преобразованными). Искомые параметры вычисляют по формуле (X^tX)'¹X^tY, после чего оценка активности m может быть легко получена как от­

ношение соответствующих параметров. Доверительные интервалы рассчитываются на основе теоремы Филлера (Fieller):

gv₁₂ ^ ts

m - ¹² ±

^V12^ ^v22

Г

^v11

^v22

( „2

b

V11 - 2mvi2 + m²V22 - g

(1 - g)

₂₂

t s vu₂₂

m_L,m_u

где :

^g _{2 b}2

а v_11; v₂₂ - множители дисперсии знаменателя и числителя, соответственно; v₁₂ - мно­житель ковариации. Эти множители можно непосредственно вычислить из матрицы (X^tX)^-1, или косвенным методом, приняв во внимание, что Var(a₁-a₂)=Var(a₁)+Var(a₂)-2Cov(a1,a2), а Cov(a1-a₂,b)=Cov(a1,b)-Cov(a₂,b).

Полный дисперсионный анализ с полным разделением компонентов более сло­жен, поскольку он предполагает пересмотр матрицы X, к которой при этом дополняют­ся столбцы для ослабления предположений о параллельности и линейности, после че­го может быть проверена гипотеза о линейности. В случае количественных определе­ний, зависящих от альтернативных эффектов, факторы линейности (точки пересечения с осью ординат as, a_T и т.д. общий угловой коэффициент b) находят путем максимиза­ции суммы по группам препаратов nl^(a/+bx)+(n-r)ln(1^(a,+bx)), где x - натуральный логарифм дозы (/п(доза)), Ф - определяет форму распределения, / e{S,T,...}.

2. НЕОДНОРОДНОСТЬ ДИСПЕРСИИ

Проблема неоднородности дисперсии не всегда может быть решена путем про­стого преобразования результатов. В этом случае один из возможных способов реше­ния данной проблемы состоит в применении метода взвешенной линейной регрессии. Чтобы получить объективную оценку, веса результатов наблюдений берутся как вели­чины обратно пропорциональные дисперсии ошибок. Так как истинное значение дис­персии ошибок не всегда известно, веса могут подбираться с использованием линей­ной итеративной процедуры. Однако при расчете доверительных интервалов при этом возникают дополнительные проблемы.

3. ВЫБРОСЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДОВ В РАБОТЕ (РОБАСТНОСТЬ)

Недостатком метода наименьших квадратов, описанного в данном приложении, является его довольно высокая чувствительность к резко отклоняющимся от среднего данным. Очевидный выброс может целиком исказить результаты вычислений. Эту про­блему часто решают путем исключения выбросов из набора данных. Такой подход мо­жет привести к субъективному исключению данных - не всегда корректному и безопас­ному. Довольно сложно дать общие рекомендации, касающиеся решения относительно того является ли конкретный результат наблюдения выбросом или нет, и с этим связа­но появление и развитие ряда робастных (устойчивых в работе) методов анализа. Эти методы менее чувствительны к выбросам, за счет того, что результатам, которые в большей мере отличаются от прогнозируемого значения, придается меньший вес. В данном случае возникает ряд новых проблем, связанных с расчетом доверительных интервалов, а так же с определением подходящей функции для минимизации ошибок.