2.1.1. Объединенная дисперсия и объединенное среднее

Если имеется g выборок из одной генеральной совокупности с порядковыми но­мерами k (1<k<g), расчет дисперсии s² целесообразно проводить по формуле:

k=g(ⁱ=ⁿk ₂ _₂^{Л Z x}ik ^{- n}k^X2

i=1

k=gi=ⁿk ₂ k=g\

12

k=1

z z z [ink - i)s²_k ] z*

_s2 = k=1 i=1 = k=1 '

(2.1)

или для относительных величин, принимая во внимание, что n_k -1 = v_k:

k=g

S² = ^k=^1­

v _t

(2.1а)

_{Zvk x RSD}²

k=1

v _t

(2.1b)

При этом объединенное число степеней свободы v_t равно

^v _{t = Z}^v _k

k=1

(2.2)

где

X - среднее k-той выборки;

k

n_k - число вариант в k-той выборке;

Vt Xik

^sk,r dik

число степеней свободы в k-той выборке; /-тая варианта k-той выборки; дисперсия k-той выборки;

относительная дисперсия k-той выборки;

отклонение /-той варианты k-той выборки.

Если g выборок из одной генеральной совокупности с порядковыми номерами k

(1<k<g) характеризуются выборочными средними значениями Xk, полученными из n_k

вариант, то объединенное среднее значение X по всем выборкам рассчитывают по формуле:

k=g _ Z ⁿk ^{х x}k X = ц

_Z ⁿ_k

k=1

(2.3)

Необходимым условием совместной статистической обработки нескольких вы­борок является отсутствие статистически значимой разницы между отдельными значе-

ниями

s² (т.е. справедливость гипотезы равенства дисперсий). В простейшем случае

можно ограничиться сравнением крайних значений s_k² с использованием критерия

Фишера F, как указано в разделе 3. В более общем случае используют критерии Барт-летта и Кохрейна.

2.1.2. Критерий Бартлетта.

Для проверки гипотезы, что все s² принадлежат одной генеральной совокупно­сти, используют выражение, приближенно распределенное как с²:

х² =

2,303 х

^{vt хlgs2-Zvk хlgs}_t

(2.4)

k=1

При этом величины s и v_t рассчитываются по уравнениям (2.1) и (2.2). Найденная таким образом величина х² сравнивается с процентной точкой хи-квадрат распределе­ния х²(Р₁У_х) (см. Таблица 11.3 Приложения). Если имеется g выборок, то число степе­ней свободы для х²(Р₁У_х) берется равным v_x=g-1. Проверяемая гипотеза принимается при условии х² < Х²(Р₁У_х). В противном случае вычисленное значение х² корректируют по формуле

*2

^х

2

С

(2.5)

-1/V

где C

_{Z (1/v k )}

k=1

3(g -1)

t

+1

>

и снова сравнивают с процентной точкой хи-квадрат распределения ^(Р₁у_х). Если х² Х²(Р₁у_х), то между некоторыми стандартными отклонениями имеются значимые разли­чия. В этом случае необходимо провести анализ имеющихся данных, отбросить одно или несколько значений дисперсии, наиболее сильно отличающиеся от остальных, и снова провести тест Бартлетта. Нужно иметь в виду, что критерий Бартлетта (также как и критерий Кохрейна) очень чувствителен к нарушению требования нормальности. Но именно поэтому он может быть весьма полезен при формировании надежных аналити­ческих архивов.

Описанный критерий Бартлетта применим только при условии, что число степе­ней свободы у всех объединяемых дисперсий больше 3 (т.е. все v_k > 3). Однако именно этот случай нередко и представляет наибольший интерес. Поэтому Бартлеттом была предложена более сложная модификация данного критерия, применимая при любых степенях свободы⁹. Однако использование ее на практике достаточно затруднительно без применения ЭВМ.