§17.2. Страхование жизни

Этот вид страхования (life insurance), называемый также стра­хованием на случай смерти, является наиболее распространен­ным. Страховая сумма, равная 5, выплачивается в случае смер­ти застрахованного. Допустим, страховой договор заключается в возрасте х лет. Если смерть наступит на первом году страхо­вания, а выплата страховых сумм наследникам производится в конце года наступления страхового события, то с учетом веро­ятности этого события современная величина выплаты (на мо­мент заключения контракта) составит q_x(Sv); если страховой случай наступит во втором году, то аналогичная по содержанию величина равна ₂Я_Х(^) ^{и Т}-Д-

Единовременную нетто-премию определим исходя из прин­ципа эквивалентности обязательств. Искомая величина равна современной стоимости страхового аннуитета или математиче­скому ожиданию суммы дисконтированных выплат. Поскольку необходимые значения вероятностей находятся на основе таб­лицы смертности как d_x/l_x (см. § 16.2), то искомая величина премии при условии, что страхование пожизненное, определя­ется как

352

A=-rvS+ -^-v²^ + ... + -7- v«-^xS.

Умножим и разделим каждое слагаемое на V^х и используем коммутационную функцию D_x. После чего получим

A=S

*x+\ + —^±i-_vx+2 ₊ + _% o>

D„ D„ D

X

\ ~x **x **x

Применив коммутационную функцию М_х (см. (16.13)), окон­чательно имеем

Л/ A_x--f& 07.5)

X

Пожизненное страхование жизни встречается не так уж час­то. Обычно практикуют страхование на срок. Пусть этот срок равен п годам. Нетто-премия в этом случае составит

Л/. ~~ А/„._

л ——r^^s- <^l7-⁶>

ПРИМЕР 17.3. Найдем величину премии в виде доли от страхо­вой суммы для сорокалетнего мужчины при пожизненном страхо­вании жизни:

Мдо 431,4

^A^^ ⁼ ^^s=-i^iJ^s=0-^14678S-

Для варианта с ограничением срока страхования двадцатью годами получим:

^М40~^М60 431,4-134,7 Их - «Л* - ~%^S _iiiiJ-S = 0.10094S.

Как видим, ограничение срока заметно снизило стоимость страхования.

На практике часто премии выплачиваются в рассрочку. Пос­леднее равносильно замене разовой выплаты премии постоян­ной рентой. Пусть рассрочка осуществляется посредством пла­тежей пренумерандо в течение / лет. Условие равенства обяза­тельств сторон в страховании запишем следующим образом:

353

М_х — М_х+п

где R — член страхового аннуитета (размер ежегодной премии), а^л — стоимость немедленного ограниченного страхового анну­итета (см. (16.22)).

После несложных преобразований имеем

A/_v ~~ Л/. * = s-N ^{& (17J)}

ПРИМЕР 17.4. Допустим, единовременный взнос в примере 17.3 (пожизненное страхование) заменяется на выплаты в рассрочку в течение 20 лет. В этом случае

Чю 431,4 R =——S =■S = 0,01581 S.

^NA0'^N60 ³⁰³⁷⁶ " ³⁰⁸²

Смешанное страхование. Нетрудно объединить страхование на дожитие и на случай смерти. Если страховое возмещение обоих рисков одинаково, то в расчете на один рубль страховой суммы получим следующую сумму единовременной нетто-пре-мии:

А + Л~ п ~* 07-8)

X

Для рассрочки платежей в течение / лет получим

D+ М- М_х+п *- _N-_N ^s- (>⁷-9)

^1Ух ⁿx+t