§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам

Как было показано выше, оба вида ставок (наращения и дисконтирования) применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является опреде­ление наращенной суммы, обратной — дисконтирование. Для учетной ставки, наоборот, прямая задача заключается в дискон­тировании, обратная — в наращении.

Очевидно, что рассмотренные два метода наращения и дис­контирования — по ставке наращения / и учетной ставке d — приводят к разным результатам даже тогда, когда / = d.

34

Ставки	Прямая задача	Обратная задача	Формулы
d	S= Р(\ + ni) Р= S(l - nd)	Р =5/(1 + ni) S= PI (I ~nd)	см. (2.1), (2.11) см. (2.12), (2.13)

Заметим, что учетная ставка отражает фактор времени более жестко. Влияние этого фактора усиливается при увеличении ве­личины ставки. Для иллюстрации сказанного на рис.2.5 и в табл. 2.1 приведены дисконтные множители (ДМ) для случая, когда / = d = 20%.

ДМ ^	,
1
		/
0,833		^d
0,8			->

Рис. 2.5

Таблица 2.1

Дисконтные множители, I - d » 20%

Вид			Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
/ d	0,9836 0,9833	0,9524 0,9500	0,9091 0,9000	0,8333 0,8000	0,7143 0,6000	0,3333

Рис. 2.6

Сравнивая формулы (2.1) и (2. 13), легко понять, что учет­ная ставка дает более быстрый рост суммы задолженности, чем такой же величины ставка наращения. Множители наращения (МН) для двух видов ставок при условии, что / = d = 20%, по­казаны на рис. 2.6 и в табл. 2.2.

35

Таблица 2.2

	Множители		наращения,	/ = d = 20%
Вид	Срок в годах
ставки	1/12	1/4	1/2	1	2	10
d	1,0167 1,0169	1,0500 1,0526	1,1000 1,1111	1,2000 1,2500	1,4000 1,6667	3 00

Из сказанного выше следует, что выбор конкретного вида процентной ставки заметно влияет на финансовые итоги опе­рации. Однако возможен такой подбор величин ставок, при котором результаты наращения или дисконтирования будут одинаковыми. Такие ставки называются эквивалентными. Проблема эквивалентности процентных ставок рассматривает­ся в гл. 3.

§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

При разработке условий контрактов или их анализе и срав­нении возникает необходимость в решении ряда, если так мож­но назвать, вторичных задач — определении срока ссуды и раз­мера процентной ставки в том или ином ее виде при всех про­чих заданных условиях.

Срок ссуды. Необходимые для расчета продолжительности ссуды в годах и днях формулы получим, решив (2.1) и (2.12) от­носительно п.

Срок в годах:

„ S- Р - S/ Р- 1 Pi i

(2.14)

за)

(2.15)

_ S-Р „ 1 -Р/S

Sd d

Срок в днях (напомним, что п = t/K, где К — временная ба-

«- S-P

К

Pi

(2.16)

' Sd ^К

(2.17)

36

ПРИМЕР 2.12. Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (ACT/ACT)? По формуле (2.16) находим

(= 120-100365 = 292 дня.100 х 0.25^Д

Величина процентной ставки. Необходимость в расчете про­центной ставки возникает при определении финансовой эффе­ктивности операции и при сравнении контрактов по их доход­ности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не ука­заны. Решив выражения (2.1) и (2.12) относительно / или d, по­лучим искомые формулы для сроков, измеренных в годах и

днях:

i'-^T'-^jr¹¹' ⁽²¹⁸⁾

^d_-¹_%r-^A_ir^K _<^2|9_>

ПРИМЕР 2.13. В контракте предусматривается погашение обяза­тельства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Как видим, здесь не огово­рен уровень процентной ставки. Необходимо определить доход­ность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента и учетной ставки. По формулам (2.18) и (2.19) находим

' = ll°^on³⁶Q = 0,666(6), или 66,67%, 90 х 120

d =Л!?"^360 = 0,5454, или 54,54%. 110 х 120

Иногда размер дисконта фиксируется в договоре в виде про­цента скидки (общей учетной ставки) d' за весь срок ссуды. В этом случае

Р= 5(1 - d').

Имея в виду, что Р = S / (1 + /и), находим

37

d' i =

Годовая учетная ставка находится элементарно:

d=d' I n.

ПРИМЕР 2.14. Стороны договорились о том, что из суммы ссу­ды, выданной на 210 дней, удерживается дисконт в размере 12%. Необходимо определить цену кредита в виде годовой ставки про­стых процентов и учетной ставки {К = 360):

/ = _oin °'¹² = 0,23376, или 23,38%,

^-И -0,12) 360

^d = o^lL» ⁼ 0,20571, или 20,57%. 210/360