§15.2. Цена опциона

Как было показано выше, реальные прибыль или потери от опциона для обеих участвующих сторон зависят от цены испол­нения, рыночной цены актива на момент исполнения опциона, премии. В условиях развитого рынка опционов цена исполне­ния устанавливается на бирже опционов. Обычно это величи­на, близкая к текущей рыночной цене актива. Если биржа оп­ционов отсутствует, то единственный путь установления цены исполнения — непосредственная договоренность покупателя и продавца опциона.

Рыночные цены актива, на которые ориентируются стороны в опционной сделке, не реальные, а ожидаемые величины. Можно полагать, что чем больше они отклоняются от цены ис­полнения, тем меньше их вероятность. Если принять в качест­ве одной из возможных рабочих гипотез нормальное распреде­ление этих вероятностей, то зависимость "вероятность—при­быль" для опциона колл на фафике выглядит таким образом (см. рис. 15.6), что цена исполнения £ является центром рас­пределения вероятностей. С увеличением рыночной цены при­быль увеличивается, одновременно уменьшается вероятность этого события.

В разработанных математических моделях для определения цены опциона, одна из которых кратко охарактеризована ниже, вместо нормального распределения обычно используется лога­рифмически нормальное (логнормальное) распределение, а центр распределения относят к цене исполнения. Иначе гово­ря, предполагается, что распределение вероятностей для ожида­емых рыночных цен является асимметричным (вершина сдви­нута влево). Таким образом, предусматривается, что вероят­ность получения прибыли выше, чем потерь.

Наиболее интересным среди перечисленных факторов явля­ется премия (цена опциона). Выше отмечалось, что цена опци-

Цена акции

Прибыль *

Вероятность реализации

325

она складывается на рынке. Предлагаемая продавцом цена должна быть конкурентоспособной и в то же время обеспечить ему некоторую прибыль.

К проблеме формирования цены можно подойти аналитиче­ски. Прежде всего можно определить "естественные" границы этой цены. Так, в первом приближении для европейского оп­циона колл минимальная цена равна нулю, максимальная — цене акции, так как право на покупку вряд ли может превышать цену самой акции. Таким образом,

О < с < 5,

где с — цена опциона, S — текущая цена акции.

В то же время цена опциона к моменту истечения срока рав­на разности ожидаемой рыночной цены и цены исполнения:

c=S-E. (15.1)

Верхние и нижние границы опциона колл показаны на рис. 15.7.

Для того чтобы уточнить границы значений цены опциона, а также лучше представить себе свойства опциона и фигури­рующих в нем показателей, сравним расходы на приобретение акции непосредственно на рынке (стратегия А) и при покуп­ке опциона колл (стратегия Б). Пусть срок опциона и приоб­ретения акции — один год, цена акции равна S, цена испол­нения Е.

Возможные стратегии покупателя и их финансовые послед­ствия представлены в табл. 15.1. В графе "Расходы" этой табли­цы показаны стоимостные показатели на день исполнения оп­циона, в графе "Инвестиции" — его расходы на день покупки опциона. Опцион при условии S < Ене реализуется, акции мо-

Цвна опциона а

Нижняя граница цены

Цена акции

326

гут быть куплены на рынке (стратегия А). Если S > Е, то сле­дует применить стратегию Б. Премия для альтернативной ситу­ации определена в размере с = S — Е. Величина Ev означает со­временную стоимость цены исполнения на день покупки опци­она, v — дисконтный множитель. Расходы на приобретение ак­ции во всех ситуациях равны S.

Таблица 15.1

Стратегия	Расходы		Инвестиции
покупателя	5, <Е	St>£
А. Покупка акции	S	—	Sv
Б. Опцион Премия Цена исполнения	0 Е	S-E Е	с Ev
Итого для Б	Е	S	(с + Ev)

Теперь становится очевидным, что вместо (15.1) следует ис­пользовать

с = S- PV(E) = S- Sv_y (15.2)

где ЯК— оператор определения современной стоимости на мо­мент выплаты премии, v — дисконтный множитель по рыноч­ной процентной ставке.

Аналогичным образом получим ограничение для цены опци­она пут:

с = PV(E) - S.

Приведенные выше выражения позволяют получить значе­ния премии для нескольких величин цены акции. Так, если ожидаемая цена акции минимальна, то премия опциона колл, естественно, нулевая. Для ситуации, когда S = Е, получим ма­ксимальную величину премии: с = Е - PV(E).