1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.

1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.

98

Рис. 5.1

Находим

S = 5 х 1,2³'⁵ + 15 х 1,2³ + 18 х 1,2 = 56,985 млн руб.

По этим же данным определим современную стоимость пото­ка на момент выплаты первой суммы, При прямом счете получим

А = 5 + 15 х 1,2-°-⁵ + 18 х 1,2-²'⁵ = 30,104 млн руб.,

а по формуле (5.3)

А = 56,985 х 1.2"³'⁵ = 30,104 млн руб.

В частном, но распространенном случае, когда размеры чле­нов потока произвольны, но выплаты постнумерандо произво­дятся через равные интервалы времени, а их количество боль­ше 5—7, есть смысл для расчета величины А применить про­грамму НПЗ (NPV) пакета Excel

Порядок действий при использовании программы НПЗ

1. Последовательно вызвать: £, "финансовые функции", НПЗ.

2. В строке Норма показать ставку начисляемых процентов за период.

3. В строках Значения последовательно показать данные, ха­рактеризующие поток платежей, не более 29 членов потока.

После выполнения действий 1—3 в итоговой строке окна ав­томатически показывается расчетная величина современной стоимости потока платежей. После нажатия ОК эта величина показывается в выделенной ячейке таблицы Excel

Примечание. Пользователь может изменять размеры процент­ной ставки и/или членов потока платежей, не выходя из окошка.

ПРИМЕР 5.2. Определим современную стоимость потока, члены которого 40, 50, 45, 70 выплачиваются постнумерандо по полуго­диям. Процентная ставка 12% за полугодие. Вызвав программу НПЗ, введем данные:

Норма: 12% Значение 1: 40 Значение 2: 50 Значение 3: 45 Значение 4: 70 Ответ: 152,09

99

§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета, как это было показано в § 5.1, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользо­ваться более компактными формулами. Поскольку обобщаю­щие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания суще­ства дела, вероятно, достаточно разобраться с расчетом соот­ветствующих характеристик лишь для некоторых из них. В этом и следующем параграфах анализируются ренты постну­мерандо.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годо­вой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в кон­це каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке / % годовых. Таким образом, име­ется рента, член которой равен R , а срок — п. Все члены рен­ты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п — 1 год, на второй п — 2 и т.д. На по­следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Л(1 + /Г"¹, Л(1 + 0^я"², ..., ЛО + 0, Л

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедить­ся в том, что он представляет собой геометрическую прогрес­сию со знаменателем (1 + I) и первым членом Л. Число членов прогрессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

Откуда

(1+/Г-1 (И-У-1 ^{S R} (l + 0-l / ⁽⁵"⁴⁾

Обозначим множитель, на который умножается Л, через s_n4, нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и ве­личину процентной ставки (часто в литературе можно встретить

100

обозначение s_ny). В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент пред­ставляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

^пА< \/ (i + 'T-i

г-о '

Таким образом,

S=Rs_n;i. (5.6)

Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увели­чением значения каждого из этих параметров его величина рас­тет. При / = О имеем S= Rn. Значения коэффициента легко та­булировать (см. табл. 6 Приложения).

ПРИМЕР 5.3. Для обеспечения некоторых будущих расходов со­здается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной го­довой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн руб. На поступившие взносы начисляются процен­ты по ставке 18,5% годовых. Поскольку в таблице коэффициентов наращения Приложения нет такого значения ставки, то необходи­мую величину определим по формуле (5.4). Величина фонда на конец срока составит

о л л 0+0,185)⁵-1 _ООЛ

^s = ^{4 х S}5;18,5 = ^{4 х} ^85 ^{= МЛН РУ}

Для расчета наращенной суммы можно воспользоваться па­кетом Excel БЗ (FV), который следует применять только в тех случаях, когда р = т. Последовательность действий и пример применения этой программы показаны ниже — там, где речь идет о таких рентах.

Полезно проследить взаимосвязь коэффициентов наращения, относящихся к последовательным интервалам времени. Для слу­чая, когда общий срок определяется как п = /i, + n_v получим

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако

101

проценты теперь начисляются т раз в году. Число членов ренты равно пт. Члены ренты с начисленными к концу сро­ка процентами образуют ряд (перепишем его в обратном по­рядке):

Л, Л(1 +y//w)^w, Л(1 +у/т)^2/я, ..., Л(1 +y//w)<'^|-^,>^/w,

где у — номинальная ставка процентов (см. § 3.3).

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической профессией. Первый член про­грессии равен Л, знаменатель — (1 +_<///w)^w. Сумма членов этой прогрессии составляет

(1 + j/m)^mn - 1 ⁵" ^Л(1+у/т)--1 " **«*" ⁽⁵⁸⁾

ПРИМЕР 5.4. Несколько изменим условия примера 5.3. Пусть те­перь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Име­ем j/m = 18,5/4, тп = 20:

(1 + 0,185 /4)²⁰- 1

S = 4- ¹ '—Ч = 29,663 млн руб.

(1 + 0,185 / 4)⁴ - 1 ' ^му

Как видим, переход от годового начисления процентов к по­квартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов /ьсрочной ренты постнумерандо при условии, что /и = 1,/и=/>и/и*/>.

Рента /^-срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна /?, то каждый раз выпла­чивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Последова­тельность членов ренты с начисленными процентами предста­вляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее ра­вен R/p , знаменатель — (1 + i)^{/p. Сумма членов этой прогрес­сии

^s р ^х о + о'/>-1 ^R _P[(i + ,y/>- и Ki- ⁽⁵⁹⁾

102

ПРИМЕР 5.5. Вернемся к условиям примера 5.3. Допустим, пла­тежи выплачиваются поквартально: Я/р=1 млн руб., общее число платежей равно 20. Наращенная сумма составит

1.185⁵- 1 S = ⁴ 4(1,18514-1) ^{= 30}'^{834 МЛН РУб}*

Рента ^-срочная (р = т). На практике наиболее часто встре­чаются случаи, когда число выплат в году равно числу начисле­ний процентов: р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся (5.4), в которой / заменено нау//и , а вместо чис­ла лет берется число периодов выплат ренты пр, член ренты ра­вен R/p. Поскольку р = /и, то в итоге получим

R (1 + 7/т)™-1 (1 +7//ЯГ-1

о = — х " = К : . (5.10)

т j/m j

Полученные выше формулы (5.4) и (5.5) могут применяться и для определения наращенной суммы /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, в свою очередь / является ставкой за период. Например, пусть рента постнуме-рандо выплачивается по полугодиям. Тогда в формуле (5.4) под п следует понимать число полугодий, а под / — сложную став­ку за полугодие.

Для расчета наращенной суммы для этого случая можно вос­пользоваться программой БЗ (FV) пакета Excel Эта программа помимо потока постоянных платежей учитывает единовремен­ный взнос (имеющиеся средства) в начале срока. Расчет произ­водится по формуле

S = Rs_ml+ Н3(1 + О",

где R — член ренты, НЗ — единовременный взнос, s_n;i — коэф­фициент наращения постоянной ренты, п — число' периодов выплаты ренты и начисления процентов, / — процентная став­ка за период.

Порядок действий при использовании программы БЗ

1. Последовательно вызвать:/^, "финансовые функции", БЗ.

1. В окошке указать параметры и условия ренты: Норма — ставка начисляемых процентов за период,

юз

Число периодов,

Выплата — член ренты; показывается с отрицательным знаком,

НЗ — единовременный взнос в начале срока; показывает­ся с отрицательным знаком. Если эта величина не указы­вается, то результат — наращенная сумма постоянной ренты,

Тип — вид ренты: 0 — для ренты постнумерандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не указывается, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина. После на­жатия кнопки ОК эта величина показывается в выделенной ячейке Таблицы Excel.

ПРИМЕР 5.6. Продолжим наш сквозной пример 5.3—5.5. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится по­квартально. По формуле (5.10) получим

(1 + 0,185 /4)⁴*⁵- 1

S = 4 х —— = 31,785 млн руб.

0,185

или по формуле (5.4)

(1 + 0,185/4)²⁰- 1

S = ¹ * ^S20;18,5/4 = ¹ * 0,185/4 ^{= 31,?85 МЛН РУб>}

Применим программу БЗ. Для этого введем данные:

Норма: 4,625%, Число периодов: 20, Выплата: -1,

НЗ и Тип не указываются, так как НЗ = 0 выплаты постнуме­рандо.

Ответ: 31,785

Рента р-срочная (р * /и). Определим теперь наращенную сум­му для наиболее общего случая — /ьсрочная рента с начисле­нием процентов т раз в году. Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начислен­ными процентами образуют ряд, соответствующий геометриче­ской прогрессии с первым членом R/p и знаменателем (1 + + j/m)^mtP. Сумма членов такой прогрессии составит

104

_R (1 +j/mTtP"»P - 1 _ (1 + J/m)™ - 1

/> ^X (l+y/w)^-l p[(l +y/m)^-l]' ⁽* '

ПРИМЕР 5.7. Если в ренте, наращенная сумма которой опреде­лялась в предыдущем примере, начисление процентов произво­дится ежемесячно, то

(1 +0.185/12)¹²*⁵- 1 ^{S = 4}4[(1+ 0,185/12)12/4-1] * ³²'^{025 МЛН р}У^б-

Непрерывное начисление процентов. Обсуждение методов оп­ределения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процен­тов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начислен­ными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим: R, Re^b, Re^2b, ..., Rel"~^{)^b. Сумма членов профессии равна

е⁶"- 1 S- *-jZJ = *'**> (5-12)

где е — основание натуральных логарифмов. Аналогично для /ьсрочной ренты находим

5= /? , л_/п~ \_ч =Rs<*> (5.13)

р(е№- 1) ^п>⁶

ПРИМЕР 5.8. Если бы в условиях примера 5.2 вместо ежегодно­го начисления процентов предусматривалось непрерывное их на­числение, причем сила роста равна 18,5%, то

_е0,185x5 _ -J

S ^{= 4 х} —0 185 _ ^{= 29}»955 млн руб. При ежеквартальной выплате членов ренты получим

_е0,185x5 _ -J

^s = ⁴ * 4(e°.i85/4-D = ³²'^{150 млн} РУ^б-

Заметим, что непрерывное начисление процентов членов дис­кретной ренты дает в итоге такую же сумму, что и наращение по дискретной ставке / или у, если сила роста эквивалентна этим

105

ставкам. Продемонстрируем сказанное на примере. Сила роста, эквивалентная годовой ставке 18,5%, согласно (3.27) составит 6 = 1п(1 + 0,185) = 0,16974. Для годовой ренты получим (см. пример 5.3)

_е0,16974х5 _ -J ^{S = 4 Х} 0,16974 _ ^{= 28}'^{900 МЛН} РУ^б-

Сравнение результатов наращения годовых и ^-срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процен­тов. Как видно из приведенных выше примеров, частота плате­жей и наращения процентов заметно влияют на размер нара­щенной суммы. Для практика, очевидно, представляет опреде­ленный интерес соотношения этих сумм.

Обозначим сравниваемые суммы как S{p;m): так, 5(1 ;1) озна­чает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начисле­нием процентов, S(\;m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S(pp>) — наращенную сумму /ьсрочной ренты с непрерывным начис­лением процентов.

Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительно­сти рент и размеров процентных ставок (/ =у = б) получим сле­дующие соотношения:

S(l;\)<S(l;m)<S(l; *)<S(j);l)<S<j);m)<S<j);m)<S(p;m)<S(j>;oo) /и>1 р>\ р>т>\ р=т>1 т>р>\

Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о результатах, связанных с конкретными условиями. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями: р = 2 и т = 4 дает меньшую наращен­ную сумму, чем с/> = 4и/и = 2 при равенстве всех прочих ус­ловий.

В качестве иллюстрации приведем значения S(p;m) для рен­ты с параметрами п = 10, R = 10, / =7=6 = 6%:

	/я- 1	тш1	л-4	ж-12	т «■ <*>
р = \ />=4	131,81 134,74	132,37 135,35	132,65 135,67	132,85 135,88	132,95 135,99

106