Глава 17 личное страхование

§17.1. Нетто-премии в личном страховании

Страхование на дожитие. Для начала рассмотрим самый про­стой, но очень важный в методическом плане случай личного страхования — страхование на дожитие (pure endowment). Итак, человек в возрасте х лет договаривается со страховой организа­цией о том, что при достижении им, допустим, 60 лет он полу­чит S рублей. Для определения размера премии найдем матема­тическое ожидание суммы страховой выплаты, дисконтирован­ной на срок страхования, т.е. на 60 — х лет. Размер нетто-пре­мии данного вида страхования обозначим как _пЕ_х. Для рассма­триваемого примера:

60-А ⁼ во-хРх * ^v6°~* * £

где м-хРх — вероятность лицу в возрасте х лет дожить до 60 лет, v⁶⁰"* — дисконтный множитель по принятой ставке сложных процентов.

В общем виде с использованием коммутационной функции D_x получим

A-A*»-*$-^'«S--^^-xJ-^S<17.1)

Влияние принятой процентной ставки здесь очевидно. Чем она выше, тем меньше страховая премия.

ПРИМЕР 17.1. Необходимо найти стоимость страхования на до­житие до 60 лет мужчины в возрасте 40 лет. Если расчет основы­вать на процентной ставке, равной 9%, то согласно (17.1) полу­чим¹

1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.

349

^Deo 389,17

20^е* = IT'S = ' _c S = 0,13239 S. ^{20 x} Одо 2939,5

Премия здесь составляет чуть больше 13% страховой суммы. Полученная величина представляет собой нетто-ставку страхова­ния на дожитие, т.е. ставку, определенную из условия эквивалент­ности обязательств страхователя и страховщика. Напомним, что она не учитывает расходов страховщика на ведение дела.

Для того чтобы лучше понять смысл полученных результа­тов, предположим, что число застрахованных на дожитие в при­мере 17.1 равно 1000 человек, а страховая сумма равна 1 тыс. руб. Таким образом:

число застрахованных 1000

премия от одного застрахованного 132,39 руб.

общая сумма премии 132 390 руб.

сумма с процентами за 20 лет 741 968 руб.

количество лиц, доживших до 60 лет 742 (точно 741,968)

общая сумма выплат 742 000 тыс. руб.

Как видим, наблюдается полная сбалансированность между взносами и выплатами, демонстрирующая соблюдение принци­па эквивалентности обязательств страхователей и страховщика (небольшая разница объясняется округлением числа доживших).

Приведенный пример иллюстрирует действие принципа со-лидарной ответственности страхователей — важнейшего стра­хового принципа. Дело в том, что страхователь, доживший до 60 лет, часть денег получил за счет тех лиц, которые не дожили до обусловленного возраста (согласно таблице смертности та­ких окажется в среднем 258 человек из тысячи застрахованных). Если оговоренную сумму он обеспечивает самостоятельно, без солидарной ответственности всех участников, то ему необходи­мо было бы внести на сберегательный счет 178,43 руб., а не 132,39 руб.

Страхование супружеской пары. Выше постановка задачи лич­ного страхования обсуждалась применительно к отдельному че­ловеку. Распространим теперь методику страхования на супру­жескую пару, при этом ограничимся страхованием на дожитие.

Пусть речь идет о супружеской паре, имеющей возраст х и у лет. Страховым событием здесь является дожитие до возрастов х+яиу+й или дожитие одного из супругов до оговоренного

350

возраста. В первом варианте нетто-премия в расчете на один рубль страховой суммы определяется как

Лу = пРх * пРу * V^я = -ТрЧ (17.2)

^иху

где _пр_х и _пр_у — вероятности прожить еще п лет для каждого из супругов, D_YV — коммутационная функция (см.(16.14) и (16.15)).

Во втором варианте страховая сумма выплачивается одному из супругов, например вдове, при условии, что она проживет до у + п лет. Получим следующую величину нетто-премии:

Л\у - пР_Х\у * V" = ^" ~ "^f⁴"' ^(,7-³⁾

У ХУ

где _пр_х^ — вероятность того, что супруг (заключивший договор в х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до возраста х + п, а супруга, напротив, доживет до у + п лет (см. (16.7)).

Величину _яЯф можно рассчитать с помощью коммутацион­ных чисел. Обратимся к первой дроби в правой части равенст­ва (17.3). Умножим и разделим ее на v>\ Получим знакомое вы­ражение для нетто-премии на дожитие (17.1). Что касается вто­рой дроби, то для ее определения необходимы другие коммута­ционные числа (см. (16.14) и (16.15)).

Вернемся к формуле (17.3). Умножим и разделим вторую дробь на v^yV¹. После чего получим

»^Е4у~ D D ' ⁽ '

У ху

Искомая величина равна разности нетто-премий страхова­ния на дожитие супруги и страхования на дожитие супружеской пары.

ПРИМЕР 17.2. Определим размер нетто-премии страхования на 5 лет на дожитие супругов. Для супружеской пары (х = 50, у = = 45 лет) находим следующие коммутационные числа при усло­вии, что процентная ставка равна 9% (первая строка — для муж­чин, вторая — для женщин):

D* = 050 = ¹¹²⁴'⁸; ^Dx+n = 0₅₅ = 673,1;

351

Dy = 045=1991,9; Dy+n = D	so = 1268,8;
(x + y)/2 = (50 + 45) / 2	= 47,5.
Отсюда
°xy = D50; 45 = 10"3 * 1124>8 * 1991 -9 :	к 1,09475 = 134 799;
*V„ = 055; я, = Ю-3 ж 673,1 ж 1268,8 ,	< 1,095+475 = 78 770.
При страховании на дожитие супружеской пары получим
Е т Е . 78770 ш rFxy 5С50;45 134 799	0,58435.
При страховании на дожитие вдовы:
1268,8 78 770 \ Е , = *£=„,« = ! = 0,63698 - 0,58435 - 0,05263. лсх|у 5С50|45 1991,9 134 799 ",wus,° u,JOW '