§16.3. Коммутационные функции

Для сокращения записи страховых аннуитетов и упрощения расчетов применяют так называемые коммутационные функции (commutations functions), или коммутационные числа. Смысл этих чисел трудно, хотя и возможно, содержательно интерпретиро­вать. Их проще воспринимать как чисто технические, вспомо­гательные средства.

Стандартные коммутационные функции делятся на две груп­пы. В основу первых положены числа доживающих до опреде­ленного возраста, вторых — числа умерших. Кратко остановим­ся на методике получения наиболее важных в практическом от­ношении функций. Основными в первой группе являются функции D и N'

D_x=l_xv*, (16.8)

AT,- f Л_у> (16.9)

J-x

где v — дисконтный множитель по сложной ставке /, о> — пре­дельный возраст, учитываемый в таблице смертности.

339

По определению

N_M = Д..

В некоторых актуарных расчетах необходимы суммы комму­тационных чисел D_x для заданных возрастных интервалов. В этих случаях можно воспользоватся коммутационными числами N_x:

к /-1

На практике применяются еще два варианта функции N_x, к которым обращаются тогда, когда платехси производятся т раз в году. Так, для платежей постнумерандо с достаточной для прак­тических расчетов точностью применим следующее выражение:

_N(m)_{m N} + _D (16.10)

^{х х} 2т ^{х v} '

Для платежей пренумерандо

"⁽*^m)~^N*-^J!Lir^D*- <¹⁶¹¹⁾

Наиболее важными коммутационными функциями второй группы являются С_х и М_х\

C_x = d_xv^x+{, (16.12)

М_х- jC_y. (16.13)

]-х

Между коммутационными числами обеих групп существуют определенные взаимозависимости:

_Сх = ^х = _(/- - _Wv*h = i_xV*_v - _Jx+{V^ = _DxV - _Dx+i, Аналогично можно доказать, что

М_х = N_xv - Л^,.

Страховые организации разрабатывают таблицы коммутаци­онных функций с учетом принятых в них норм доходности.

340

Таблица 16.2

Фрагмент таблицы коммутационных чисел1

X	(г	Dx	Л,	-цш-	с.	мх
18	100 000	21 199	244 593	254 309	28,98	1003,6
19	99 851	19 420	223 393	232 294	30,82	974,7
20	99 678	17 786	203 973	212 125	31,98	943,8
30	96 991	7310	80 677	84 027	25,55	648,9
35	94 951	4651	49 910	52 042	20,78	530,3
40	92 327	2940	30 376	31 723	19,09	431,4
50	83 640	1125	10 465	10 981	14,54	260,7
60	68 505	389	3082	3261	10,25	134,7
70	45 654	ПО	684	734	5,72	53,1
80	19 760	20	85	95	2,14	13,0

При страховании супружеских пар возникает необходимость в коммутационной функции:

О = / _{х v}(x+y)/2 "ху ху

Величина / определена при расчете _пр_ху (см (16.6)).

(16.14)

Функцию (16.14) можно получить на основе коммутацион­ных функций D_x, D_y следующим образом:

Z)^, = D_xxD_yx v-W² = D_x x D_y x (1 + 0<^)/². (16.15)

В свою очередь

'ху+п ху+п

*xv+n * ^v >

- *U * А** * У-Ь^Й/Я = Л ж Л. х (1 + |)^(^)/2.

Поскольку произведения коммутационных чисел имеют большую размерность, то их обычно умножают на 10~³.

¹ Подсчитано по таблице смертности населения СССР (см. § 16.2) при ус­ловии, что / = 9%. Полная таблица содержится в Приложении (см. табл. 12).

341

ПРИМЕР 16.5. Определим коммутационные числа О_50;45 и О_55;50 для супружеской пары примера 16.4. Находим:

(х + у) I 2 = (50 + 45) / 2 = 47,5.

Коммутационные числа при условии, что процентная ставка равна 9%, имеют следующие значения (первая строка — для муж­чины, вторая — для женщины):

0^= 1124,8; 055 = 673,1;

0^= 1991,9; О₅₀= 1268,8. Отсюда

^D50;45 = ¹⁰~^{3 х 1124}»^{8 х 1991}'^{9 х} 1.09⁴⁷-⁵ = 134 308; ^D55.50 = Ю"³ х 673,1 х 1268,8 х 1,09⁵⁺⁴⁷-⁵ = 78 770.

По аналогии с функцией N_x найдем:

<а-у

"_Ху- 2^D*W ⁽¹⁶¹⁶⁾

t -О