- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
1 См. Математическое приложение к главе.
83
реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Остановимся на этих проблемах. Введем обозначения:
S — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу, С — наращенная сумма с учетом ее обесценения, У — индекс цен,
Jc — индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период.
Очевидно, что
С=5хУс.
Индекс покупательной способности денег, как известно, равен обратной величине индекса цен — чем выше цены, тем ниже покупательная способность:
'■-i-
Указанные индексы, естественно, должны относиться к одинаковым интервалам времени. Пусть, например, сегодня получено 150 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены увеличились в 1,5 раза (или повышение на 50%), Jp = 1,5, индекс покупательной способности денег равен 1/1,5. Следовательно, реальная покупательная способность 150 тыс. руб. составит 150/1,5 = 100 тыс. руб. в деньгах с покупательной способностью двухлетней давности.
Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции И понимается относительный прирост цен за период; обычно он измеряется в процентах и определяется как
А = 100Ц, - 1). В свою очередь
Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает, что цены выросли в 1,3 раза.
Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:
84
'>-ч[,+-ш\ <4-42>
где А, — темп инфляции в периоде U
Пусть теперь речь пойдет о будущем. Если Л — постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за п таких периодов получим
Грубейшей ошибкой, которая, к сожалению, встречается в российской практике, является суммирование (!) темпов инфляции отдельных периодов дня получения обобщающего показателя инфляции за весь срок. Что, заметим, существенно занижает величину получаемого показателя.
ПРИМЕР 4.18. Постоянный темп инфляции на уровне 5% в месяц приводит к росту цен за год в размере
Jp= 1,0512= 1,796.
Таким образом, действительный годовой темп инфляции равен 79,6%, а не 60% как при суммировании.
Продолжим пример. Пусть приросты цен по месяцам составили: 1,5; 1,2 и 0,5%. Индекс цен за три месяца согласно (4.42) равен
Jp = 1,015 х 1,012 х 1,005 = 1,0323. Темп инфляции за три месяца 3,23%.
Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом покупательной способности равна
^ S „ 1 + л/ 1 + ni
р
с"Т.-р—Г"1—7V- <4-44)
1 +
100
85
Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда
1 +«/ > /„.
ПРИМЕР 4.19. На сумму 1,5 млн руб. в течение трех месяцев начисляются простые проценты по ставке 28% годовых, наращенная сумма, следовательно, равна 1,605 млн руб. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2,0 и 1,8%. Индекс цен равен 1,025 х 1,02 х 1,018 = 1,06432. С учетом обесценивания наращенная сумма составит
1,605
- = 1,508 млн руб.
1,06432
Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Наращенная сумма с учетом инфляционного обесценивания находится как
+ /
S (l + <f С« — -Р± <-шр\
(4.45)
100
р
Величины, на которые умножаются Р в формулах (4.44) и (4.45), представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень инфляции. Посмотрим теперь, как совместно влияют сложная ставка / и темп инфляции Л на значение этого множителя. Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции равен процентной ставке, то роста реальной суммы не произойдет — наращение будет поглощаться инфляцией, и следовательно, С = Р. Если же Л/100 > /, то наблюдается "эрозия" капитала —. его реальная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда h/ЮО < /, происходит реальный рост, реальное накопление (см. рис. 4.5). Очевидно, что при начислении простых процентов ставка, компенсирующая влияние инфляции, соответствует величине
п
Ставку, превышающую критическое значение /' (при начислении сложных процентов /' = Л), называют положительной ставкой процента.
86
Владельцы денег, разумеется, не могут смириться с их инфляционным обесценением и предпринимают различные попытки компенсации потерь. Наиболее распространенной является корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать брут-то-ставкой. (В западной финансовой литературе такую ставку иногда называют номинальной. Однако этот термин уже "занят" (см. номинальная и эффективная ставки в § 3.3.).
Определим брутто-ставку (обозначим ее как г) при условии полной компенсации инфляции. При наращении по сложной процентной ставке находим брутто-ставку из равенства
,+'-(|+/>(1+Т5г)-
Откуда
г= / +
h 100
+ г
100
(4.46)
На практике скорректированную по темпу инфляции ставку часто рассчитывают проще, а именно:
г= / +
100'
(4.47)
Формула (4.46) по сравнению с (4.47) содержит один дополнительный член, которым при незначительных величинах / и Л можно пренебречь. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой. Например, даже при / = 5% и й = 1% "вклад" этого произведения в брутто-ставку составит 0,005, или 0,5%. Брутто-ставка в этом случае
87
равна 15,5% (вместо 15% по формуле (4.47). Однако при годовой инфляции в 100% и той же исходной ставке наращения брутто-ставка увеличивается уже до 0,05 + 1 + 0,05 х 1 = 1,1, т.е. до 110%.
При наращении по простым процентам имеем
1 +лг=(1 + */)/,,
где У — индекс цен за учитываемый период.
Очевидно, что при больших темпах инфляции корректировка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.
Перейдем теперь к измерению реальной доходности финансовой операции, т.е. доходности с учетом инфляции. Если г объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки / можно определить при наращении сложных процентов на основе (4.47):
1 + г
1+-*-100
Если брутто-ставка определяется по упрощенной формуле (4.47), то
Л
'"г"1оо-
Аналогичный по содержанию показатель, но при начислении простых процентов, находим как
1 /1 + пг \
■ «пМ- <4-49)
Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительной простая ставка / может быть только при условии, что 1 + пг > J'
ПРИМЕР 4.20. Рассчитаем реальную годовую ставку для следующих условий: годовой темп инфляции — 20%, брутто-ставка —
88
25% годовых, п = 0,5 года. Индекс цен за половину года: 1,2°'5= 1,0954.
Для простых процентов получим
1 /1 + 0,5 х 0,25 \
1 = ТТ Г^Гл Ч = 0,05404.
0,5 [ 1,0954 )
Изменим условия задачи. Пусть срок теперь равен 5 годам и речь идет о сложной ставке. Индекс цен за этот период 1,7. В этом случае
^«5VU-1«0f11196,
1 + 0,25 '- 1+0.11106 -1-0.1241.
Компенсации инфляции можно достичь и путем индексации исходной суммы задолженности. В этом случае
С= PxJpx(l + /)".