Глава 3 сложные проценты

§3.1. Начисление сложных годовых процентов

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, приме­няют сложные проценты (compound interest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян­ной — она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсо­лютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь­ное реинвестирование средств, вложенных под простые про­центы на один период начисления {running period). Присоедине­ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став-ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам:

Р — первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита­ла и т.д.),

S — наращенная сумма на конец срока ссуды,

п — срок, число лет наращения,

/ — уровень годовой ставки процентов, представленный де­сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны вели­чине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(\ + /). К кон­цу второго года она достигнет величины Р(\ + /) + Р(1 + /)/' = = Р(\ + О² и т.д. В конце л-го года наращенная сумма будет равна

43

S= P(\ + i)ⁿ.

(3.1)

Проценты за этот же срок в целом таковы:

/= S- Р = P[(l + i)ⁿ- 1]. (3.2)

Часть из них получена за счет начисления процентов на про­центы. Она составляет

1_р = Р[(\ + /Г - (1 + л/)]. (3.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ­ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрес­сии, первый член которой равен Р₉ а знаменатель — (1 + /). Последний член прогресии равен наращенной сумме в конце срока ссуды. Графическая иллюстрация наращения по слож­ным процентам представлена на рис. 3.1.

	А	1*
		/,
п1	пг

О п On

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Величину (1 + 0^я называют множителем наращения (com­pound interest factor) по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Фрагмент такой таблицы приведен в табл. 2 Прило­жения. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет­ся как ACT/ ACT.

44

ПРИМЕР 3.1. Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (3.1) находим

S = 1 000 000(1 + 0.155)⁵ = 2055464,22 руб.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров -/ил. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Ос­тров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменен) за 24 долл.¹ Стои­мость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась пример­но в 40 млрд долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667 х 10⁹ раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых.

Очевидно, что очень высокая (инфляционная) процентная ставка может быть применена только для короткого срока. В противном случае результат наращения окажется бессмыслен­ным. Например, уже при / = 120% (а такая инфляционная став­ка не столь уж давно наблюдалась в России, правда для кратко­срочных ссуд) и п = 10 имеем чудовищный по размеру множи­тель наращения (1 + 1,2)¹⁰ = 2656.

Формула наращения по сложным процентам (3.1) получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле­ния. В этих случаях / означает ставку за один период начисле­ния (месяц, квартал и т.д.), ая- число таких периодов. На­пример, если i — ставка за полугодие, то п — число полугодий и т.д.

Формулы (3.1)—(3.3) предполагают, что проценты на про­центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен­тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке /, а проценты на проценты — по ставке г * / В этом случае

S = Р + А[1 + (1 + г) + (1 + г)² +...+ (1 + г)"""¹].

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче­скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем (1 + г). В итоге имеем

(3.4)

( (I + г)" - О S= Р 1 + /^ -¹ -