§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент

Кратко рассмотрим методики расчета наращенных сумм и современных стоимостей для некоторых разновидностей дис­кретных постоянных рент. Постоянные ренты с непрерывным поступлением платежей рассматриваются в гл. 6.

Ренты пренумерандо и ренты с выплатами в середине периодов.

Напомним, что под рентой пренумерандо понимается рента с платежами в начале периодов. Легко понять, что каждый член такой ренты "работает" на один период больше, чем в ренте по-стнумерандо. Отсюда наращенная сумма ренты пренумерандо, обозначим ее здесь как 5, больше в (1 + /) раз аналогичной рен­ты постнумерандо:

S = 5(1 + 0. Коэффициент наращения годовой ренты пренумерандо

119

Аналогичным путем получим для годовой ренты с начисле­нием процентов т раз в году

5=5(1 +j/m)^m.

Для р-срочных рент, у которых т = 1 и т * р, получим:

5=5(1 + 04

5= 5(1 +j/m)^m/P.

Точно такая же зависимость наблюдается и между современ­ными стоимостями и коэффициентами приведения рент пост-нумерандо и пренумерандо:

А = А(1 + 0; d_n;i = a_n;i{\ + /) и т.д.

Важной для практики является рента с платежами в середи­не периодов. Например, в случаях, когда поступления от произ­водственных инвестиций распределяются более или менее рав­номерно, применение рент пренумерандо или постнумерандо для описания таких потоков может привести к некоторым сме­щениям в значении получаемых показателей. В таких ситуациях для уменьшения погрешности рекомендуется суммы поступле­ний за период относить к середине периодов. Наращенные сум­мы и современные стоимости таких рент находим умножением соответствующих обобщающих характеристик рент постнуме­рандо на множитель наращения за половину периода. Так, для современных стоимостей находим следующие соотношения:

А_{/2 = А{\ + О¹/² при р = 1, т = 1,

А_1/2 = А(\ + О¹'²' при р > 1, т = 1,

А_{/2 = A(l +j/m)^m'² при р = 1, т > 1,

^А\/2 ⁼ Л(1 +j/m)^m/2p при р > 1, т > 1.

ПРИМЕР 5.17. Определим поправочный множитель, необходи­мый для расчета современной стоимости ренты с платежами в середине периодов. Условия ренты постнумерандо: р = 12, т = 1, / = 10%. Искомый множитель 1,1¹'^2х12 = 1,00398.

120

Отложенные ренты. Начало выплат у отложенной (отсрочен­ной) ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Например, погашение задолженности планируется на­чать спустя обусловленный срок (льготный период). Очевидно, что сдвиг во времени никак не отражается на величине нара­щенной суммы. Иное дело современная стоимость ренты.

Пусть рента выплачивается спустя /лет после некоторого на­чального момента времени. Современная стоимость ренты на начало выплат (современная стоимость немедленной ренты) равна А. Современная стоимость на начало периода отсрочки в t лет очевидно равна дисконтированной на этот срок величине современной стоимости немедленной ренты. Для годовой рен­ты находим

_tA = Av* = Яа„.у, (5.40)

где _tA — современная стоимость отложенной на /лет ренты.

ПРИМЕР 5.18. Пусть в примере 5.9 рента выплачивается не сра­зу, а спустя 1,5 года после момента оценки. Современная стои­мость отложенной ренты составит

12,368 х 1.185"¹'⁵ = 9,588 млн руб.

Современная стоимость отложенной ренты используется при решении целого ряда задач, чаще всего в расчетах, связанных с выплатами различного рода накоплений. Для иллюстрации об­судим одну из подобных задач. Пусть годовая ограниченная рента постнумерандо делится во времени между двумя участни­ками (например, речь идет о передаче собственности). Рента имеет параметры: R, п. Условия деления: а) каждый участник получает 50% капитализированной стоимости ренты; б) рента выплачивается последовательно — сначала первому участнику, затем второму.

Решение задачи сводится к расчету срока получения ренты первым участником, обозначим его как п_{. В оставшийся срок деньги получает второй участник. Таким образом, первый уча­стник получает немедленную ренту, второй — отложенную. Из принятых условий деления ренты следует:

121

Учитывая, что п₂ = п — л,, находим:

,-(и,р ■-с»)-'--¹,,,

/ /

После ряда преобразований получим

_ -1п{[1 + (1 + i)-»]/2} ^П{ 1п(1 + /)

Результат зависит только от общего срока ренты и процент­ной ставки, которая учитывается в расчете.

ПРИМЕР 5.19. Срок годовой ренты постнумерандо 10 лет, / = 20%. Пусть рента делится между двумя участниками на тех ус­ловиях, которые были выше приняты при выводе формулы. Тогда

Чп[(1 + 1,2¹⁰)/2] _{ОЛв4 0} л« = " ■———- = 2,981 - 3 года.