§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам

Наиболее распространенной является ипотечная ссуда, усло­вия которой предполагают равные взносы должника, взносы ежемесячные постнумерандо или пренумерандо. В договоре обычно устанавливается ежемесячная ставка процента, реже го­довая номинальная.

В осуществлении ипотеки при покупке (строительстве) объ­екта залога участвует три агента: продавец, покупатель (долж­ник), заимодавец (кредитор). Взаимосвязи между ними показа­ны на блок-схеме (см. рис. 9.2).

		ПРОДАВЕЦ
	ИМУЩЕСТ1 120	30 | ОПЛАТА J 100 + 20 V I
КРЕДИТОР	ССУДА 100	ПОКУПАТЕЛЬ
	ЗАЛОГ 100
	^
t_	ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА	Я

Рис. 9.2

Продавец получает от покупателя за некоторое имущество полную его стоимость (120). Для этого покупатель получает ссу­ду под залог этого имущества (100) и добавляет собственные средства (20). Задача заключается в определении размера еже­месячных погасительных платежей R и остатка задолженности на момент очередного ее погашения вплоть до полной оплаты долга.

Поскольку погасительные платежи (взносы) представляют собой постоянную ренту, при решении поставленной задачи применим тот же принцип, что и при разработке плана погаше­ния долгосрочного долга равными срочными уплатами. Для этого приравняем современную величину срочных уплат сумме ссуды. Для месячных взносов постнумерандо находим:

/)= Ra

УУ;/>

где D — сумма ссуды; УУ— общее число платежей, N= Yin (n — срок погашения в годах); / — месячная ставка процента; R — ме-

204

сячная сумма взносов; a_N.. — коэффициент приведения посто­янной ренты.

Искомая величина взноса составит

Л =

^aw

= Dc.

(9.20)

В рамках решаемой проблемы величину с = \/a_N;i можно на­звать коэффициентом рассрочки. Для рент пренумерандо получим

R = —-(1+/).

(9.21)

Найденная по формуле (9.20) или (9.21) величина срочной уплаты является базой для разработки плана погашения долга. Согласно общепринятому правилу из этой суммы прежде всего выплачиваются проценты, а остаток идет на погашение долга.

ПРИМЕР 9.13. Под залог недвижимости выдана на 10 лет ссуда в размере 100 млн руб. Погашение ежемесячное постнумерандо, на долг начисляются проценты по номинальной годовой ставке 12%. Таким образом, N = 120, / = 0,01; находим: а_120;1 = 69,70052. Для этих условий ежемесячные расходы должника равны

Я =

100 000 69,70052

= 1434,709 тыс. руб.

Проценты за первый месяц равны 100 000 х 0,01 = = 1000 тыс. руб., на погашение долга остается. 1434,71 — 1000 = = 434,71 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.

Месяц	Остаток долга на начало месяца	Взнос	Проценты	Погашение долга
1 2 3	100000,00 99565,29 99126,23	1434,71 1434,71 1434,71	1000,00 995,65 991,26	434,71 439,06 443,45
37 38 39	81274,07 80652,10 80017,63	1434,71 1434,71 1434,71	812,74 806,52 800,24	621,97 628,19 634,47
118 119 120	4219,35 2826,94 1420,50	1434,71 1434,71 1434,71	42,20 28,27 14,21	1392,5 1406,44 1420,50

205

Как показано в таблице, в первом месяце расходы на выплату процентов и погашение основного долга соотносятся как 1000:434,71; в последнем месяце — уже как 14,21:1420,5.

Перейдем к другой проблеме. При выдаче ссуды под залог для обеих сторон важно знать сумму погашенного долга и его остаток на любой промежуточный момент (необходимость в этом возникает, например, при прекращении договора или его пересмотре). С этой проблемой мы уже встречались выше при обсуждении метода погашения долга равными срочными упла­тами. Применительно к условиям стандартной ипотеки нахо­дим следующие соотношения:

d_t = </,_,(! + 0 = 40 + 0^м,

где d_t — сумма погашения долга, / — порядковый номер меся­ца, / — месячная ставка процента.

Остаток долга на начало месяца

Z),_+l = D_t- d_nt = l, ..., 12л.

Последовательные суммы погашения долга представляют со­бой геометрическую прогрессию с первым членом d_x и знаме­нателем (1+0, причем

d_{ = R- Di. (9.22)

Сумму членов этой прогрессии от начала погашения до / включительно найдем следующим образом:

^=<Vr,/> <⁹-²³>

где s_ti — коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.

Остаток долга на начало месяца находим как разность

4+1 = ^1- ^Wr (9.24)

ПРИМЕР 9.14. По условиям ипотечного займа примера 9.13 най­дем остаток долга на начало, скажем, 118-го месяца:

206

D₁₁₈ = D, - W_U7\ IV₁₁₇ = cf_ts₁₁₇ = 434,71 x 220,3329 = 95780,65, откуда

D₁₁₈ = 100 000 - 95780,65 = 4219,35 тыс. руб.

Стандартная ипотека с неполным погашением задолженности и выплатой в конце срока остатка долга (balloon mortgage). Условия такой ипотеки позволяют уменьшить размеры периодических взносов и (или) сократить срок ссуды. Срочные уплаты рассчи­тываются таким образом, что они не покрывают всей задолжен­ности, остаток (balloon), обозначим его как /?, выплачивается в конце срока. Уравнение, балансирующее условия ипотеки, име­ет вид

D= Ra_Ni+ Bv^N.

Баланс достигается одним из следующих способов:

а) задается размер срочных уплат, определяется величина В:

Я=(1 +i)^N(D-Ra_Ni)-

б) задается /?, определяется размер срочных уплат:

Z). - Bv^N R = — .

^aNj

Далее расчет ведется по уже рассмотренной схеме.

Ссуда с периодическим увеличением взносов. В этом варианте ипотеки задается последовательность размеров взносов. Пусть увеличение взносов происходит через равные интервалы време­ни т. В пределах каждого интервала взносы постоянны. Оче­видно, что для полной сбалансированности схемы размер пос­леднего взноса не задается, он определяется по сумме остатка задолженности.

Пусть /?,,..., R_k — размеры взносов. Определим размер пос­леднего взноса. Для этого найдем на начало операции сумму современных стоимостей взносов от первого до к - 1. Обозна­чим ее как Q:

1

207

Современная стоимость непокрытой взносами задолженно­сти на начало последнего периода

W= D- Q,

откуда размер взносов в последнем периоде ипотеки

W

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (9.19) Исходное равенство

„-,-!.

Современная стоимость поступлений по рыночной ставке / равна

G=Dgxa_L;i+ Ya_n__L;y.

По определению

Г =

⁴n-L%

откуда

_i=^s_°«⁺_T-°-«*^L_-

'n-L*

Таким образом,

\^a"-L;g

w-1-

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М: Дело, 1995. Гл. 7,8.