Глава 6

ПЕРЕМЕННЫЕ

И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.

КОНВЕРСИЯ РЕНТ

§6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда размеры членов пото­ка платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продук­ции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем та­кого потока является переменная рента. Члены переменной рен­ты изменяются по каким-то установленным (принятым, огово­ренным и т.д.) законам или условиям развития.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены посто­янные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчет­ные формулы для любых конкретных видов переменных рент.

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во време­ни. Изменения размеров членов ренты происходят здесь соглас­но арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность

Л, R + a, R + 2а,..., Л + (л - \)а.

Величина /-го члена ренты равна R + (/ - \)а. Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты го­довой постнумерандо получим¹:

/ а\ navⁿ Л = [*⁺7]⁰»;< Г' ⁽⁶¹⁾

где v — дисконтный множитель по ставке /.

1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126

Напомним, что a_tri — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современ­ную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за выче­том поправочной величины nav" / /.

Наращенную сумму ренты легко получить, умножив форму­лу (6.1) на (1 + /)^л. После чего

па

^j_-»⁺_tN-t

(6.2)

Определим теперь влияние на современную стоимость рен­ты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем (6.1):

А = Ra ... +

^an-i ~ ^nv"

-а.

(6.3)

Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зави­симость для S:

(s.., - п) S= Rs .+ "''. а.

(6.4)

Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) по­лучены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пре­нумерандо находим

(1 + 0 =

п-\

/ па

(1 + /).

LV

А =

navⁿ

/ I ^л»'

nav

= l* + 7i*«/

^SnJ ~

S=\R+-

(6.5)

(6.6)

Напомним, что а_л;/, i"_ir/ — коэффициенты приведения и нара­щения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5).

ПРИМЕР 6.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб. После­дующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис-

127

ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат — 10 лет.

По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 20%, п = 10. Табличные значения коэффициентов а_10;20 = 4,192472, V^ю = 0,161505.

Применив (6.1), получим

2 10 х 2 х 0,161505 А = (15 + ~у)4,192472 - — ' = 88,661 млн руб.

Используя взаимозависимость А и S, находим

S = 88,661 х 1,2¹⁰ = 548,965 млн руб. Или применяя (6.3) и (6.4):

^аю20- Ю* ¹.²"^{10 А} = ¹5а_10:2о + ' _0>2 2 = 62,887 + 25,774 =

= 88,661 млн руб.,

^s = ^15sio;2o ^{+ Sl}°^: о 2 ^{2 = 389}«^{380 +} 159,585 =

= 548,965 млн руб.

Влияние динамики платежей здесь очевидно. Например, по­стоянная рента с Я = 15 дает накопление в сумме около 390 млн руб., "вклад" прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн руб., или примерно 20%.

Продолжим пример . Пусть теперь рента предполагает сокра­щение платежей по 1 млн в год. Тогда

^я10;20 _

0,2

а_1О:2О-10х1,2-¹⁰

^А = ¹5а_10:2о + ' по (-D = 62,887 - 12,887 =

= 50 млн руб.

0,2

^s = ^15sio;20 ^{+ 10:}п о (-D = 389,380 - 79,793 =

= 309,557 млн руб.

Иногда при анализе переменных рент может возникнуть об­ратная задача: определение первого члена ренты R или ее при­роста а по всем остальным заданным параметрам ренты. На­пример, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать

128

за п лет, и необходимо разработать конкретный план реализа­ции этой задачи. Получив R из (6.1) и (6.2), находим для годо­вых рент постнумерандо:

А +

R =

(6.7)

а_ Г

и;/

па

а_

i'

R =

(6.8)

S +

^SnJ

В свою очередь, если определяется размер прироста при за­данном R, то

_ (А - Ra_mi)i ^а a„._s - nv" '

(6.9)

а =

(S-Rs_nU)i

^Sn;i - »

(6.10)

Переменная /?-срочная рента с постоянным абсолютным приро­стом. Пусть R — базовая величина разовой выплаты, а — годо­вой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны

R, R + —, R + 2—,..., /?+(/>/!- 1)-. Р Р Р

Отдельный член этого ряда находится как

R = Л+ (/- 1)—, /= 1, .... ₉рп. Р

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов р раз в году получим

_1И)**-

(6.П)

рп

/-1

*♦£(,-■)(,♦,)

n-tlp

(6.12) 129

ПРИМЕР 6.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличивать­ся в течение двух лет — каждый квартал на 25 млн руб. Первона­чальный объем сбыта за квартал 500 млн руб. Определим нара­щенную сумму к концу срока при условии, что деньги за продук­цию поступают постнумерандо.

По условиям задачи Я = 500, а/р =25, / = 20%, п = 2, рп = 8. Наращенная сумма к концу двух лет составит

S « У[500 + 25(f - 1)] х 1,2²"^f/4 « 4865 млн руб.