§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо

Как было показано выше, постоянная рента описывается на­бором основных параметров — R, п, / и дополнительными па­раметрами р, /и. Однако при разработке контрактов и условий финансовых операций могут возникнуть случаи, когда задается одна из двух обобщающих характеристик — S или А, и необхо­димо рассчитать значение недостающего параметра.

Определение размера члена ренты. Исходные условия: задает­ся S или А и набор параметров, кроме Л. Например, за обусло­вленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если рента годовая, по­стнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то, обра­тившись к (5.6), получим

R = -^-. (5.26)

^Sn;i

Пусть теперь условиями договора задана современная стои­мость ренты. Если рента годовая (т = 1), то из (5.14) следует

R = —. (5.27)

113

Таким образом, если ставится задача накопить за определен­ный срок некоторую сумму 5, то прибегают к формуле (5.26), если же речь идет о погашении задолженности в сумме А, то следует воспользоваться (5.27).

Аналогичным образом можно определить R и для других ус­ловий ренты.

ПРИМЕР 5.14. Известно, что принц Чарльз при разводе с Диа­ной выплатил последней 17 млн ф.ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет (увы, это не сбылось). Указанную сумму можно рассматривать как современную стоимость постоянной ренты. Определим раз­мер члена этой ренты при условии, что процентная ставка равна 10%, а выплаты производятся помесячно.

По условиям задачи А = 17 млн ф.ст., п = 50, р = 12, / = 10%. Для ренты постнумерандо с указанными параметрами можно за­писать

1 - 1 1"⁵⁰ 17 000 = ЛЦ*_Ю = ^я₁₂(1,11Ла-₁₎¹'^1,/12-

Ежемесячная выплата составит Я/12 = 135,6 тыс. ф.ст.

Расчет срока ренты. При разработке условий контракта ино­гда возникает необходимость в определении срока ренты и, со­ответственно, числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или А, относительно л, получим искомые величины. Так, для годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов находим

_{-(И _±i$L}

^П 1п(1 +0 ' ^л 1п(1 + 0 •

Аналогичным образом определим сроки и для других видов рент. Сводка формул, полученных для различных рент постну­мерандо с дискретным начислением процентов, приведена в табл. 5.1.

Все приведенные выше формулы для определения я, разуме­ется, пригодны и в случаях, когда заданными являются коэф­фициенты приведения или наращения рент, поскольку а_пЧ = = A/R, s_n;i = S/R и т.д.

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты.

114

Формулы для расчета срока постоянных рен

Количество	Количество начислений		Исходны
платежей		S
	от = 1 от > 1	1пф+П	(5.28)
/> = i		" ~ 1п(1 + /)
		ln{jl(l+j/mr-l) + l}	(5.30)
		от1п(1 + у/от)
	от= 1 т= р т * р	1п{^[(1 + О'/" - 1] + 1}	(5.32)
Р>\		1п(1 + /)
		1пф+1)	(5.34)
		/nln(l +у/от)
		ln{^p[(l+y/m)^-l] + l}	• (5.36)
		/nln(l + j/m)

1. Расчетные значения срока будут, как правило, дробные. В этих случаях для годовой ренты в качестве п часто удобно при­нять ближайшее целое число лет. У /ьсрочной ренты результат округляется до ближайшего целого число периодов пр. Напри­мер, пусть для квартальной ренты получено п = 6,28 лет, отку­да пр = 25,12 кварталов. Округляем до 25, в этом случае п = 6,25 лет.

2. Если округление расчетного срока производится до мень­шего целого числа, то наращенная сумма или современная сто­имость ренты с таким сроком оказывается меньше заданных размеров. Возникает необходимость в соответствующей ком­пенсации. Например, если речь идет о погашении задолженно­сти путем выплаты постоянной ренты, то компенсация может быть осуществлена соответствующим платежом в начале или конце срока, или с помощью повышения суммы члена ренты.

Обсудим еще одну проблему, связанную со сроком ренты. Пусть А — текущее значение долга. Если он погашается с по­мощью постоянной ренты, то из (5.14) следует, что долг может быть погашен за конечное число лет только при условии, что R > AL Аналогичные неравенства можно найти и для других ви­дов рент. Если условия ренты таковы, что имеет место равенст­во, например, R = Ai₉ то п = оо₉ т.е. рента окажется вечной и долг практически не может быть погашен.

ПРИМЕР 5.15. Какой необходим срок для накопления 100 млн руб. при условии, что ежемесячно вносится по 1 млн руб, а на накопле­ния начисляются проценты по ставке 25% годовых? Имеем Я = 12, / = 25%. По формуле (5.32) находим

In п = —

-^-12(1,25¹/i2- 1) + 1

1п1,25

= 4,7356 года.

Если срок округляется до 5 лет, то необходимо несколько уменьшить размер члена ренты, т.е. найти член ренты для п = 5. В этом случае ежемесячный взнос должен составить 914,79 тыс. руб. (см. (5.26)).

Определение размера процентной ставки. Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) соответствующей финансово-банковской или коммерческой операции. Заметим, что расчет процентной ставки по осталь-

116

ным параметрам ренты не так прост, как это может показать­ся на первый взгляд. В простейшем случае задача ставится сле­дующим образом: решить уравнения (5.4) или (5.14) относи­тельно /. Нетрудно убедиться в том, что алгебраического реше­ния нет. Для получения искомой величины раньше прибегали к линейной интерполяции или какому-либо итерационному методу. В современных условиях для определения ставки по за­данным параметрам постоянной ренты удобно воспользовать­ся пакетом Excel — программа НОРМА (Rate). Однако эта про­грамма не позволяет определить ставку для переменных и не­прерывных рент, в связи с чем для решения задачи следует прибегнуть к методу Ньютона—Рафсона или методу секущей (см. Математическое приложение к гл. 6). Что касается обще­го потока платежей, то в пакете Excel имеется программа рас­чета ставки для произвольного потока с равными интервалами между платежами постнумерандо. Эту программу мы приме­ним в гл. 12 при расчете внутренней нормы доходности ВНДОХ (IRR).

В методических целях, вероятно, целесообразно начать с линейной интерполяции. По заданным R и 5, или R и А, на­ходят значения коэффициентов наращения или приведения ренты:

s_n;i=S/R; а_пи = А/Я.

Для оценки / применяется следующая интерполяционная формула:

/=//+ ^Vjifr-fr (5.38)

где a_d и a_i — табличные значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего уровня ставок (/^ /,), а — значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.

На рис. 5.3 и 5.4 изображены зависимости соответствующих коэффициентов от размера процентной ставки, а также интер­поляционные оценки и точные ее значения. Первые обозначе­ны как /, вторые как /".

Как видно из рисунков, оценки размера процентной ставки несколько отличаются от точных значений этой величины, при­чем, если за основу взят коэффициент приведения, то оценка оказывается завышенной. В свою очередь оценка / по коэффи-

117

Рис. 5.3

Рис. 5.4

циенту наращения меньше точного значения. Чем меньше диа­пазон /_;+ /^ тем точнее оценка процентной ставки.

Применим теперь для расчета ставки программу НОРМА (Rate) пакета Excel.

Последовательность действий при использовании программы НОРМА

1. Вызвать: £, "финансовые функции", НОРМА.

2. Ввести данные, характеризующие ренту: в строке Клер — число периодов,

в строке Выплата — размер члена ренты с отрицательным

знаком,

в строке НЗ — современную стоимость ренты (A<Rn) или

в строке ВС показать наращенную сумму ренты в конце ее

срока (S>Rn),

в строке Тип указать вид ренты: 0 — для ренты постнуме-

рандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не

указывается, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина ставки за период в виде десятичной дроби. После нажатия кнопки ОК эта величина показывается в процентах в выделенной ячейке таб­лицы Excel.

ПРИМЕР 5.16. Допустим, предполагается путем ежегодных взно­сов постнумерандо по 100 млн руб. в течение 7 лет создать фонд в размере 1 млрд руб. Какова должна быть годовая процентная ставка?

118

Определим исходный коэффициент наращения: s_7;/ = 1000/100 = = 10. Для начала предположим, что искомая процентная ставка на­ходится в интервале 11—12%. Для этих значений ставки находим коэффициенты наращения: a_d = s^g = 10,08901; a,= s_TU = 9,78327. Откуда

10 - 9,78327 ' = 0,11 + _4ЛМП£%< r.-,onr*-,(0,12 - 0,11) = 0,11709, 10,08901 - 9,78327

или 11,709%.

Проверка: по формуле (5.5) находим: s_7;11709 = 9,999. Таким образом, найденное значение ставки обеспечивает выполнение поставленных условий почти точно. Если точность ответа не уст­раивает, то следует сузить интервал между ставками /, и i_d.

Решим теперь эту же задачу, но с помощью Excel.

После вызова программы НОРМА вводим в окошко значения:

Кпер: 7,

Выплата: -100,

БС: 1000,

Тип: 0,

Ответ: 0,117121443.