§10.2. Уравнение эквивалентности

Необходимым условием финансовой или кредитной опера­ции в любом ее виде (ссуда, депозит, заем, инвестиции в про­изводственный проект и т.д.) является сбалансированность вло­жений и отдачи. На этом требовании базируются все рассмот­ренные выше методы планирования погашения задолженности. Посмотрим теперь на проблему сбалансированности с более об­щей, теоретической точки зрения, не отвлекаясь на техниче­ские детали расчета сумм обслуживания долга и ее компонент.

Для этого вернемся к графику, который был назван в гл. 2 контуром операции. Напомним, что контур позволяет составить уравнение, эквивалентности, балансирующее вложение средств и отдачу от них. Для случая, показанного на рис. 10.1, получим следующие размеры задолженности после уплаты Л, и Л₂:

где D₀ — размер кредита, (f = (1 + /)' — множитель наращения, / — ставка процентов по кредиту.

	я,		я2
I >	г__	>	г У	«3
*1		_!l	'э >	Г

Рис. 10.1

211

Очевидно, что баланс кредита и погасительных платежей имеет место в том случае, когда последний платеж замыкает контур. В нашем примере полная сбалансированность означает

D₂q^h - /?₃ - 0.

Определим D₂ через D₀ и подставим полученный результат в уравнение эквивалентности:

f(A></' -Д^-лЛ^-Яз-О

Уравнение становится весьма громоздким, если число вре­менных интервалов больше трех. Поэтому преобразуем найден­ное выражение, после чего

^о/-(Л1?^/2+/з + Л2^³+Лз)-0, (10.1)

где Г=2/_у.

Найденное уравнение для нас ценно прежде всего в методо­логическом плане. Здесь ясно показано, что кредитная опера­ция при применении сложных процентов может быть расчлене­на без какой-либо потери точности на два как бы встречных процесса: наращение первоначальной задолженности за весь период и наращение погасительных платежей за срок от момен­та платежа и до конца срока операции. Назовем такой подход методом "встречных операций". В ряде случаев он существен­но упрощает доказательства, ив дальнейшем мы неоднократно будем его применять.

Умножим (10.1) на дисконтный множитель v^r, получим

A)-(*,v" + *₂v'^,+'² + *₃v^r) -0.

Иначе говоря, сумма современных величин погасительных платежей на момент выдачи кредита равна при полной сбалан­сированности платежей сумме этого кредита. Это положение уже применялось нами, правда, на интуитивном уровне, при планировании погашения задолженности.

Обобщим (ЮЛ) для случая с п погасительными платежами

A)/-2*y/^;-0,y=l,2, ...,ai,

212

где Tj — время от момента платежа Rj до конца срока.

При написании уравнения эквивалентности предполагалось, что процентная ставка постоянна на всем протяжении опера­ции. Принципиально ничего не меняется, если значение став­ки изменяется во времени. Допустим, что изменение происхо­дит на каждом шаге. Тогда можно записать

где Г,- J/_ft, Г₂- £/*....

к-2 *-3

Уравнения эквивалентности, о которых только что шла речь, позволяют решить несколько важных в практическом отноше­нии задач, а именно: измерить доходность от операции и рас­пределить получаемый доход по их источникам и периодам, предусматриваемым условиями контракта, или по календарным отрезкам времени. Для этого, однако, надо разработать уравне­ния, в которых наращение (или дисконтирование) производит­ся по неизвестной ставке, характеризующей полную доход­ность. Именно таким путем определяются эти величины в сле­дующих параграфах.