§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки

Барьерное значение выпуска продукции определялось выше для линейной и нелинейной моделей при условии, что все ис­ходные данные установлены однозначно. В этой ситуации по-

158

лучают только одно расчетное значение выпуска. В действи­тельности все не так просто. Так, цену продукции, вероятно, можно с большей надежностью определить для будущего про­изводства в виде некоторого интервала р' + р". Обратившись к линейной модели, получим для этой ситуации интервал значе­ний барьерного выпуска продукции Q'_k — Q"_k (см. рис. 7.7). Аналогичное можно сказать и об остальных параметрах в фор­муле (7.3). Таким образом, при условии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапа­зоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (см. рис. 7.8, 7.9).

На рис. 7.10 иллюстрируется совместное влияние неопреде­ленности в цене продукции и переменных затрат на положение барьерного выпуска продукции.

Рис, 7,7 Рис, 7,8

В свою очередь неоднозначность ожидаемой цены продукта и постоянных затрат приводит к результату, который показан на рис. 7.11.

Рис, 7,9 Рис, 7,10

159

На рис. 7.12 иллюстрируется ситуация, при которой интер­валами заданы все три параметра. На рисунке показаны четыре критических точки: а, Ь, с, d, причем точка а соответствует ми­нимальным затратам и максимальной цене, точка Ь — макси­мальным затратам и цене, точка с — максимальным затратам и минимальной цене, наконец, точка d — минимальным затратам и цене. В зависимости от выдвинутых предположений можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а + b, a + с и т.д.

Что касается методов определения интервалов для значений параметров, то в большинстве случаев вполне оправданно экс­пертное их оценивание.

Интервалы можно установить и в рамках сценарного подхода. В этом случае определяется набор параметров для некоторой совокупности условий (сценария). Обычно разрабатывают оп­тимистический, пессимистический и наиболее вероятный сце­нарии. Оптимистический и пессимистический сценарии позво­ляют определить крайние значения искомой величины. Наибо­лее вероятный сценарий дает промежуточную оценку этой ве­личины. Задание параметров, характеризующих некоторую про­изводственную систему, в виде интервалов дает более полное представление о реально ожидаемых результатах.

§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению

Постановку задачи по определению барьерного объема вы­пуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Представим себе, что разрабатывается проект создания

160

предприятия по производству некоторого нового вида продук­ции. Выпуск продукции намечен в течение п лет в равных объ­емах по годам. Что касается затрат, то сохраняется их деление на постоянные (не связанные с объемами производства) и пе­ременные, пропорциональные выпуску продукции. Текущие за­траты и поступления от реализации продукции можно предста­вить в виде потоков платежей. Здесь возможны два конкуриру­ющих подхода к определению барьерного выпуска. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не при­нимаются во внимание непосредственно — они учитываются через амортизационные отчисления. Последние включают в те­кущие затраты. Во втором, финансовом, подходе инвестиции иг­рают ключевую роль — выступают в качестве самостоятельного фактора — в то время как амортизация не учитывается в теку­щих расходах. Как видим, оба способа избегают двойного сче­та по отношению к инвестиционным затратам.

Оба способа применяются на практике, однако они дают раз­ные результаты. Начнем с бухгалтерского подхода, согласно кото­рому необходимо определить тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся. Иначе говоря, сохраняется ориен­тация на прибыль. Найдем размер прибыли для отдельного года:

P = pQ~{cQ+f+d), (7.11)

где р и с имеют тот же смысл, что и выше (см. § 7.1), /•— по­стоянные расходы за год, d — сумма амортизационных списа­ний за тот же период (d = const).

Барьерный объем выпуска продукции составит:

f+d

<Ь-Т=7- ^(7Л2)

что, по существу, совпадает с формулой (7.3). Отличие от пос­ледней только в выделении в числителе в качестве самостоя­тельного слагаемого суммы амортизационных расходов.

Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (поступления дохода) и затраты представляют собой потоки платежей, то "конкурирующие" функции определяются как со­временные стоимости потоков, а именно:

PV(pQ)n PV(f+ d+ cQ\ где PV"■— оператор определения современной стоимости.

161

На основе этих функций получим равенство

PVipQd^PVif+d+cQj.

Решение данного уравнения¹ относительно критического объема выпуска приводит к формуле, аналогичной (7. 12).

Графическая иллюстрация положения барьерной точки вы­пуска представлена на рис. 7.13.

PV(pQ)

> Q

PV(f + d + cQ)

Рис. 7.13

ПРИМЕР 7.6. Исходные данные: п = 5, d = 50, f = 20, р = 50, с = 30. Находим

_Л 20 + 50 _ос Оь = ——— = 35. * 50-30

Проверим этот результат, для чего определим современные стоимости денежных поступлений и затрат для барьерного выпу­ска. Для дисконтирования примем / =15%, Находим а_5;15 = = 3,35216. После чего получим

РО*^а5;15<^{1 + /})°⁵ = 50 х 35 х 3,35216 х 1.15⁰⁵ = 629,

(f + d + cO_k)a₅._i5(1 + /)⁰⁵ = (20 + 50 + 30 х 35)3,35216 х 1.15⁰⁵ =

= 629.

Предположим теперь, что все участвующие в расчете удель­ные характеристики изменяются во времени, т.е. вместо р, с, /, d имеем р_р с_р f_p d_r Переменные параметры, вероятно, более адек-

См. Математическое приложение к главе.

162

ватны реальности. Например, затраты на производство могут расти в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут умень­шаться и т. д. Исходное равенство в этом случае имеет вид:

2(/,+4)И'+е*2^с'^у"'-&2/>у\

/ t t

Отсюда

_п S(/,»4)v*

^g*"v ». v ">• ⁽⁷¹³⁾

ПРИМЕР 7.7. В таблице приведены исходные данные для расче­та барьерного выпуска. Все параметры кроме сумм амортизации здесь переменные величины.

t	Р	С	1	d
1	50	28	20	30
2	50	28	20	30
3	46	30	16	30
4	46	30	16	30
5	42	31	12	30

Для дисконтирования применим процентную ставку 15%. Не­обходимые для расчета по формуле (7.13) данные приведены в следующей таблице.

t	V"	f + d	(f + djv"	pvn	cv"
1	0,93250	50	46,62500	46,625000	26,11000
2	0,81087	50	40,54350	40,54350	22,70436
3	0,70511	48	32,43506	33,84528	21,15330
4	0,61314	45	28,20444	27.59130	18,39420
5	0,53316	42	22,39284	22,39283	16,52804
	Итого	—	170,20008	170,99791	104.8899

На основе табличных данных получим

°^к 171 - 104,89 ^2,5У*

Перейдем к финансовому методу, который, повторяем, в от­личие от бухгалтерского учитывает размер капитальных вложе­ний, осуществленных для реализации проекта, и поток чистых

163

поступлений (доходов) без учета амортизационных отчислений. Поток платежей в случае, когда удельные характеристики по­стоянны, отражается следующим рядом:

~K,(p-c)Q-f₉(p-c)Q -/...,

где К — размер инвестиций.

Современная стоимость такого потока представляет собой чистый приведенный доход (NPV) — важный показатель, с кото­рым имеют дело в анализе производственных инвестиций (см. гл. 12). В принятых здесь обозначениях и с привязкой чистых поступлений к середине соответствующих периодов можно за­писать:

NPV= -* + [(р - с)0 -/]*„.. (1 + О⁰⁵. По определению в барьерной точке NPV= 0. Отсюда

,0,5

Q_k =

р-^с\^а_пЛ^{х +1}У

₄

(7.14)

Первое слагаемое в скобках равно члену финансовой ренты, современная стоимость которой равна сумме инвестиций.

Поток чистых поступлений можно расчленить без потери в точности для последующих расчетов на два потока: поступле­ний (положительные величины) и расходов (отрицательные ве­личины). Графическая иллюстрация динамики современных стоимостей указанных потоков в зависимости от объема выпу­ска представлена на рис. 7.14.

PV(cQ + f)

^pvk

PV(pQ)

> О

164

Рис. 7.14

ПРИМЕР 7.8. Применим оба метода анализа, бухгалтерский и финансовый, для анализа инвестиционного проекта, который ха­рактеризуется следующими данными: К = 1100, р = 50, с = 30, f = 5, d = 100, п = 10 лет. Дисконтирование осуществляется по ставке 12% годовых.

По формуле (7.12) находим

105 50-30

о* = -^—^г=⁵'²⁵-

В свою очередь финансовый метод дает

1 ( 1100 \

°*""й^»! а_10;12х 1,12С5 +5] = 9,45.

Как видим, последний ответ существенно отличается от пре­дыдущего.

При сравнении формул (7.12) и (7.14) становится очевид­ным, что расхождение в результатах оценки барьерной точки выпуска связано с тем, что

a_n;i(\ +0°-⁵

> d.

Иначе говоря, член ренты, погашающей капиталовложения, должен быть больше амортизационных отчислений. Равенство в приведенном соотношении будет наблюдаться только в слу­чае, когда / = 0. В этом случае а_п.₀ = я.

При бухгалтерском подходе из поля зрения аналитика про­падает выгода от возможного иного использования ресурсов. В связи с этим введем важное в современной экономике понятие условной (вмененной) потери (opportunity costs), связанной с аль­тернативными издержками в результате неиспользования воз­можного альтернативного курса действий. Для иллюстрации приведем следующий пример. Пусть этим ресурсом для кон­кретности является производственное здание. У владельца име­ются две альтернативы его использования:

• осуществить некоторый производственный проект, преду­сматривающий использование этого здания,

• продать здание (или сдать его в аренду).

Если владелец реализует проект, то он теряет вторую воз­можность получения дохода. Таким образом, хотя при реализа-

165

ции проекта здание не приобретается, его стоимость должна включаться в инвестиционные издержки. Здесь уместно приве­сти следующую иллюстрацию. Компания Локхид обратилась в 1971 г. в Конгресс США по поводу убыточности производства военных самолетов TriStar L—1011. Обращение аргументирова­лось тем, что коммерческая привлекательность производства была определена с учетом барьерной точки выпуска в размере около 200 самолетов. Однако эта величина не учитывала ранее сделанных капиталовложений в сумме 1 млрд долл. С учетом указанных вмененных затрат барьерная точка повышается до 500 самолетов.

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (7.12)

Найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно ко­торому современная стоимость доходов равна современной сто­имости затрат. При расчете современных стоимостей полагаем, что выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет. В терминах финансовой математики соответствующие по­токи представляют собой постоянные годовые ренты с платежа­ми в середине периодов (см. § 6.3). Пусть PV— оператор опре­деления современной стоимости соответствующего потока пла­тежей. Современная стоимость потока переменных и постоян­ных затрат, в которые включены и амортизационные начисле­ния, в этом случае составит:

PV(f+ d+ cQ) = (/•+ d + cQ)v⁰⁵ + ... +

(1) + (/> d + cQ)v^⁵ = (/•+ d + cQ)a_n;i (1 + /)4

где а_пЛ — коэффициент приведения постоянной ренты, v — дисконтный множитель.

В свою очередь современная стоимость поступлений нахо­дится как

PV(pQ) = pQv⁰*⁵ + pQv¹⁵ + ... + pQv"-^ =

(2)

⁼ />e%(i + o⁰'⁵.

166

Из равенства

(/•+ d + cQ_k)a_n;i (1 + if* = _PQ_ka_n;i(\ + О⁰'⁵ следует искомая формула

* /? — с