§7.2. Нелинейные модели

Линейная модель во многих случаях дает практически приемлемое описание ситуации. Однако могут иметь место ситуации, когда процесс формирования затрат и/или стоимости продукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соответствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа или их можно задать экспертно.

Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по определению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе "конкурирующих" функции являются нелинейными. Ограничимся двумя из возможных постановок задачи. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной, монотонно растущей функцией. Иначе говоря, предполагается, что удельные затраты сокращаются по мере роста масштабов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 7.3.

Рис, 7,3

Задача, как и выше, заключается в определении барьерного уровня выпуска продукции. Стоимость продукции находится по формуле (7.1), а сумма переменных затрат описывается, допустим, степенной функцией cQ^h, причем 0 < А < 1. В этом случае общая сумма затрат составит

153

5= F+ cQ^h

Разность "конкурирующих" функций в барьерной точке равна нулю:

pQ_k~cQ\- F=0.

Решение, как видим, сводится к нахождению корня этого уравнения.

ПРИМЕР 7.2. Исходные данные: F Соответственно имеем		= 100, p =		50, с = 40, h	= 0,5.
	50Q_k - 40Q°'⁵ -	- 100	= 0.
Найдем корни этого уравнения. квадратное, положив О = z². После		Для чего	этого преобразуем получим		его в
*«-■	50z² - 40z -	100 =	= 0,
*«-■	-(-40)±^40)²27	-4х! 50	50 х(-	-юо)
Положительный = 1,86² = 3,46.	корень равен	1,86.	Таким образом,		_°_*⁼

Перейдем к сочетанию двух нелинейных зависимостей. Например, пусть обе функции являются параболами второй степени (см. рис. 7.4). Тогда

V= aQ² + bQ, S=cQ² + dQ +F,

где a, b, c, d — параметры парабол.

Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит

Р = {а - c)Q² + {b-d)Q- F (7.5)

Барьерный объем выпуска находится как корень квадратного уравнения

(a-c)Q²_k + (b-d)Q_k-F=0. 154

v, s

O_k 0

Рис. 7.4

Добавим, что при некоторых условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Q_m). Для этого, как известно, достаточно найти производную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, когда прибыль описывается выражением (7.S), находим

^g»-t^t- <⁷-⁶>

Как видим, положение точки максимума полностью определяется параметрами соответствующих парабол. Причем необходимым условием существования максимума являются следующие соотношения: d>b, a>c . Если же b>d и а>с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска.

Нелинейную модель можно представить и в неформализованном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска (см. пример 7.3).

ПРИМЕР 7.3. В приведенной ниже таблице и на диаграмме содержатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.

о	F	с	Р	S	V	Р
0	100	—	—	100	—	—
5	100	30	50	250	250	0
10	100	27	50	370	500	130
15	100	22	45	430	675	145
20	100	20	40	500	800	300
25	100	20	30	600	750	150