§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные постоян­ные потоки платежей. Там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единствен­но возможным. На практике, особенно при анализе производст-

1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.

136

венных инвестиций, поток платежей может существенно изме­няться во времени, в том числе следуя какому-либо закону.

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Л, =/(')> то общая сумма поступлений за время п рав­на ff[t]dt. В этом случае наращенная сумма (при начислении

о процентов используется процентная ставка в виде силы роста 6) находится как

5-//(/)е"Мл.

О

Современная стоимость такого потока определяется как

Л-//(')^е"^5х'^Л-о

Для того чтобы рассчитать величины А и 5, необходимо оп­ределить конкретный вид функции изменения платежей и зна­чения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить, исходя из соотношения

S = А&™. (6.27)

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функ­ция потока:

R_t= Rq + at, (6.28)

где /^ — начальный размер платежа, выплачиваемого в едини­цу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современная стоимость получена с помощью интегрирова­ния функции потока платежей:

A «jf(/io +at)e-^bytdt « В^е'^шЛ + ajte'^bxt -

О 0 0

(6.29)

Я_{0 +} -)а_к6--пе-^ЬхП

Rodъъ + - (а „_;5 - пе~^Ьхп)а 5

137

где а_п.₆ — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

В последней записи наглядно представлено влияние началь­ного размера платежа и приростов.

ПРИМЕР 6.9. Намечается в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млн руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска — 10 млн руб. Необходимо определить суммарный объем выпуска с начисленными процентами. Сила роста 8%. Определим коэффициент приведения

•J _ _в-0,08 х 3

0,08

*3;8 = ^^ = 2.66715.

Современная стоимость ренты

^А = 1¹<> + "^Г1².66715 - -г-гг-Зе⁰-⁰⁸ *³ = 30,5 млн руб. [ 0.08J 0,08

Искомая наращенная сумма S = 30,5 х 1,08³ = 38,4 млн руб.

Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей

R_t = Re<*\ (6.30)

где q — непрерывный темп прироста платежей.

Современная величина такой ренты определяется следую­щим образом:

^{п п} i л. Л^я"^ь\

Rfei'e^'dt- RCe^ > dt - R

У⁶)" _ 1 -R- -.

Разность q — Ь определим следующим образом: где к — дискретный темп прироста.

138

А.ЯСе"'е-^ыЛ.ЯСе^'- -«

(6.31)

ПРИМЕР 6.10. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если Я = 100, / = 7%, п = 3 года. Из условий задачи сле­дует:

1 + 0,05 Таким образом,

_в -0,01887x3 - «J

^А = ¹0° па«_Мт—=291,5,

-0,01887

S = А(1 + /)³ = 291,5 х 1,07³ = 357,1.

§6.5. Конверсии рент

Виды конверсии. В практике иногда сталкиваются со случая-ми, когда на этапе разработки условий контракта или даже в хо­де его выполнения необходимо в силу каких-либо причин из­менить условия выплаты ренты. Иначе говоря, речь идет о кон­вертировании условий, предусматриваемых при выплате финансо­вой ренты. Простейшими случаями конверсии являются: заме­на ренты разовым платежом (выкуп ренты), или наоборот, за­мена разового платежа рентой (рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну — консолидация рент. Общий случай конверсии — замена ренты с одними условиями на рен­ту с другими условиями, например, немедленной ренты на от­ложенную, годовой — на ежеквартальную и т.д. Ясно, что все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к измене­нию финансовых последствий для каждой из участвующих сто­рон, то конверсия должна основываться на принципе финансо­вой эквивалентности (см. гл. 4).

Конверсия рент широко применяется при реструктурирова­нии задолженности. Как известно, при этом нередко условия погашения долга смягчаются, однако принцип эквивалентности соблюдается и в этих случаях, обычно, правда, в урезанном, ес­ли так можно сказать, виде. Подробнее о реструктурировании долга будет сказано в гл. 9. Здесь же обсудим несколько основ­ных случаев конверсии рент.

139

Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Решение проблемы здесь очень простое. Искомый размер выкупа должен быть равен современ­ной стоимости выкупаемой ренты. Для решения задачи в зави­симости от условий погашения задолженности выбирается та или иная формула расчета современной стоимости потока пла­тежей. Естественно, что применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участ­вующие стороны.

Рассрочка платежей. Обсудим теперь задачу, обратную выку­пу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласились, что задолженность будет погаше­на частями — в рассрочку, то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты. (В.М. Третьяков, например, предлагал В. В. Верещагину оплатить несколько его картин пу­тем выплаты соответствующего аннуитета.)

Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме дол­га. Задача обычно заключается в определении одного из пара­метров этой ренты — члена ренты или ее срока — при условии, что остальные параметры заданы. Подобного рода задачи под­робно обсуждались в § 5.4, поэтому здесь нет смысла останав­ливаться на них.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент, оче­видно, заключается в замене нескольких рент одной, парамет­ры которой необходимо определить. В этом случае из принци­па финансовой эквивалентности следует равенство современ­ных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидирован­ных) рент, что соответствует равенству

Л = 2Л_Щ, (6.32)

где А — современная стоимость заменяющей ренты, А — сов­ременная стоимость ?-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и /ьсрочными и т.д. Что касается за­меняющей ренты, то следует четко определить ее вид и все па­раметры, кроме одного. Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать размер неизвестного парамет-

140

pa исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за­меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует

R = -_т^±. (6.33)

я;/

В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданно­му значению а_нЧ (см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче­та величина коэффициента приведения определяется условия­ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:

-»;/ ; _R

а„., = : = -^JL-r-. (6.34)

Если 2, A_q известно, то, определив на основе (6.34) величину

ч п, получим

«|+* • <"⁵⁾

Как видим, для того чтобы задача имела решение, необходи­мо соблюдать условие:

< 1.

R

ПРИМЕР 6.11. Три ренты постнумерандо — немедленные, годо­вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну­мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: R_q = 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20%, то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо­лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6.1).

Размер члена заменяющей ренты равен

141

3,60459 x 1,2"³

ff =

2002,946

^а7;20^³

2002,946

зг = 960,189 тыс. руб.

Если бы заменяющая рента была немедленной, то

2002,946 ^{Я =} 1^^" ^{= 555}'^{665ТЫСРУ6}-

Таблица 6.1

	Определение члена		заменяющей ренты
Рента (q)	"я	"я	/	вл,-Я»	Яап,-20
1	100	6	20	3,32551	332,551
2	120	11	20	4,32706	519,472
3	300	8	20	3,83716	1151,148
Итого	520				2002,946

Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо най­ти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется совре­менная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.

А = 2002,946 х 1.2³ = 3461,091 тыс. руб. По формуле (6.35) получим

п =-

, ,₄ 3461,091 _ЛМ

-^,n(1 ~l^o-°-²⁾

In 1,2

= 3,395 года.

Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку по­крытия долга или излишки (см. пояснения в § 5.4.) при определе­нии срока ренты.

Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = Z А?^. Все рен­ты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим

i-(u/)-" sif'-M""]

/J . _ш . L_?

142

где п — срок заменяющей ренты. После преобразований находим

1пЛ-1пУ Л(l+ i)""^f

ПРИМЕР 6.12. Консолидируются ренты, предусматривающие го­довые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб.; сроки этих рент 10, 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. руб., то

In 5 ^П~ In 1,05

In (0,5 х 1.05-¹⁰ + 1,5 х 1,05"¹⁵ + 3 х 1,05'¹²) In 1,05

= 12,64 года.

Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столк­нуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправля­ясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.