- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
Для обоснованного выбора облигации недостаточно располагать данными об их доходности. Необходимо как-то оценить и риск. Последний, очевидно, связан со сроком облигации — чем больше срок, тем выше риск. Однако непосредственное сравнение сроков не приведет к правильным выводам, посколь-
242
ку при этом не учитываются особенности распределения доходов во времени ("профиль" поступлений доходов). Ясно, что облигации с нулевым купоном более рискованны, чем облигации с периодическим выплатами процентов при одном и том же их сроке, так как все поступления происходят в конце срока. Для характеристики облигаций под этим углом зрения применяют два вида средних сроков платежей. Обе средних являются взвешенными арифметическими. Отличие — в методе взвешивания. Назовем первую среднюю средним арифметическим сроком (average life), вторую, для того чтобы отличить от первой, назовем средним сроком дисконтированных платежей (duration). Рассмотрим обе средние.
Средний арифметический срок. Этот показатель обобщает сроки всех видов выплат по облигации в виде средней взвешенной арифметической величины. В качестве весов берутся размеры выплат. Иначе говоря, чем больше сумма выплаты, тем большее влияние на среднюю оказывает соответствующий срок. Для облигаций с ежегодной оплатой купонов и погашением номинала в конце срока получим
1>ф. gNlttj+nN
Г'^Г°
!*.
+ *•
»-w "■
<1U8)
j '
где Т — средний срок, t — сроки платежей по купонам в годах, Sj — сумма платежа, g — купонная норма процента, л — общий срок облигации.
Известно, что для t,= 1,2, ..., п
Г'~ 2 ' поэтому вместо (11.18) можно применить
*(* + О , j
Г=
gll/ш
■ (П19)
Очевидно, что Т<п.У облигаций с нулевым купоном Т = п. Нетрудно понять, что чем больше купонный процент, тем меньше средний срок.
243
ПРИМЕР 11.7. Найдем средний арифметический срок для двух облигаций с выплатами по купонам 5 и 10% от номинала, срок облигаций 10 лет. По формуле (11.19) получим
0,05 х 11 t 1 0,1 х 11 t 1
г1=—5js—=8'5: т* =—м— = 7'75г°да-
Пусть теперь купоны оплачиваются р раз в году, например, по полугодиям или ежеквартально, тогда необходимая нам сумма сроков платежей находится как
у пр(п + 1 / р)
Теперь вместо (11.19) имеем
!<я+1//»+1
Т= — . (11.20)
g+ 1 / п
Очевидно, что переход от годовой выплаты процентов к выплатам по полугодиям или по кварталам несколько снижает средний арифметический срок облигации. Чем меньше средний арифметический срок, тем скорее получает отдачу от облигации ее владелец и, следовательно, меньше риск.
Несколько слов о содержании полученной средней. Предварительно вспомним понятие "кредитная услуга", под которой обычно понимают произведение суммы кредита на срок ("руб-ле-годы"). В числителе формулы (11.18) показан полный размер кредитной услуги по облигации — все ожидаемые поступления умножены на соответствующие сроки. Средний арифметический срок указывает на момент в сроке облигации, который уравнивает размеры кредитных услуг в том смысле, что сумма кредитной услуги до среднего срока равна кредитной услуге после этого момента:
ЯМ-*'**» <»-21>
где Ау, гк — временные интервалы от даты платежа до среднего срока (/ — платежи, производимые до среднего срока, к — после этого срока).
244
Для иллюстрации обратимся к облигации из примера 11.4 со сроком 5 лет. Ее средний срок равен 4,43 года. Размер кредитной услуги на эту дату равен примерно 62. Кредитная услуга для оставшегося срока равна такой же величине. Механический аналог среднего срока — точка равновесия платежей во времени.
Средний срок дисконтированных платежей. Обсуждаемый показатель также представляет собой среднюю взвешенную величину срока платежей, однако взвешивание здесь более "тонкое", учитывающее временную ценность денег. В качестве такого показателя, который, кстати, вытесняет в современной практике средний арифметический срок, применяют так называемый средний срок дисконтированных платежей. Обозначим эту величину как D.
Пусть проценты выплачиваются ежегодно, тогда имеем
(11.22)
Знаменатель формулы по определению равен рыночной цене облигации (см. (11.6)). После ряда преобразований получим
gyt,vJ +v"
D-Z^ ,/,= 1,2,...,/!. (11.23)
АГ/100 J v '
Дисконтирование здесь производится по ставке помещения.
ПРИМЕР 11.8. Для облигации примера 11.4 ставка помещения (полная доходность) равна 19,62%. Дисконтируем платежи по этой ставке. | ||||
'/ |
vh |
S/ |
Sffb |
W> I |
I 1 2 3 4 5 |
0,8360 0,6989 0,5842 0,4884 0,4083 |
GO GO 00 00 00 о |
6,6880 5,5912 4,6736 3,9072 44,0966 64,957 |
6,6880 11,1824 14,0208 15,6288 220,4828 268,0028 |
245
Находим
268 D = -£jj- = 4,12 года.
Напомним, что средний арифметический срок для этой облигации равен 4,43 года.
Очевидно, что для облигации с нулевым купоном D = Т = п. В остальных случаях D < Т < л. На рис. 11.2 иллюстрируется зависимость среднего взвешенного срока платежей от общего ее срока (/ — облигации с нулевым купоном, 2 — купленные по номиналу, 3 — купленные с дисконтом, 4 — купленные с премией; по облигациям вида 2—4 предусматривается выплата купонного дохода). Рассматриваемый показатель увеличивается при сокращении купонного дохода, а также с падением средней ставки на рынке и ростом общего срока.
Из определения D и приведенных формул следует, что этот показатель учитывает особенности потока платежей — отдаленные платежи имеют меньший вес, чем более близкие к моменту оценки. Заметим, что эту величину можно трактовать и как срок эквивалентной облигации с нулевым купоном.
°t '
X 2
у/у^ 3
>^O^^Z- 4
Рис. 11.2
В примере 11.8 средний срок платежей по облигации составил 4,12 года. Это означает, что она эквивалентна займу без текущей выплаты процентов с аналогичной нормой доходности (19,62%) при условии, что его срок равен 4,12 года.
Модифицированный средний срок дисконтированных платежей. Средний срок дисконтированных платежей, о котором
246
только что шла речь, едва бы привлек внимание финансистов-аналитиков, будь он только обобщенным измерителем срока платежей. Ценность этого показателя состоит в том, что его можно использовать как меру чувствительности цены облигации к незначительной динамике уровня процентной ставки на рынке. Для решения этой задачи, строго говоря, применяется не величина Д а ее модификация, обозначим ее как MD {modified duration), которую для краткости назовем модифицированная средняя. Этот показатель часто называют средней Макколея:
MD = —^-T, (11.24)
1 + -Р
где / — полная доходность облигации, р — количество выплат процентов в году.
Можно доказать, что MD представляет собой показатель эластичности цены облигации по рыночной процентной ставке. Иначе говоря,
MD = -^х^-100, А А/
где ЬК, Ai — изменения в цене и рыночной процентной ставке в%.
Из приведенного выражения следует
Д*=-0,0ШЯх КхМ. (11.25)
Формула (11.25) применяется в практике для оценивания колебаний в цене облигаций при незначительных (до 1%) изменениях рыночной процентной ставки.
ПРИМЕР 11.9. Для облигации примера 11.4 было найдено: D = 4,12 года, / = 19,62%. Откуда
4,12
Используем полученный параметр для оценки влияния на цену облигации ожидаемого повышения рыночного процента с 19,62 до 20%. Находим
247
ЛК = -0,01 х 3,44 х 65 х 0,38 = -0,85,
т.е. при указанном повышении ставки курс облигации составит 65-0,85 = 64,15.