§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)

Расчет доходности для схем, предусматривающих рассроч­ки платежей, довольно хлопотливое дело. На практике при решении подобных задач иногда прибегают к приближенным методам, которые основаны на замене регулярного потока платежей разовым платежом, отнесенного к середине общего срока погашения. Естественно, что такое упрощение условий скажется на точности результата. Остановимся на двух зада­чах.

225

Условия первой задачи. Пусть некоторое долговое обязатель­ство в сумме D покупается по цене Р. Долг последовательно по­гашается в течение п периодов. Разовое погашение в сумме R = = D/n. Доходность в конечном счете определяется здесь ценой приобретения обязательства

Определим доходность вложения в такое долгосрочное обяза­тельство. Стандартное решение заключается в разработке уравне­ния эквивалентности вида Р = Ra_n.^ и его решения относительно неизвестной ставки /_э. (Как было показано в гл. 5, простого алге­браического решения нет.) В свою очередь упрощенный метод сводится к решению элементарного равенства Р = Dv^T. Отсюда

/э-^-1, (Ю.20)

где Т —средний срок обязательства.

Следует подчеркнуть, что при определении среднего срока самым простым способом в виде

Г₀ = л/2 (10.21)

не учитывается вид ренты, характеризующей поступления. С учетом этого фактора получим следующие средние сроки: для поступлений постнумерандо

Т_{ = у + у, (10.22)

для ренты пренумерандо

Т₂ = у - у. (10.23)

ПРИМЕР 10.10. Операция характеризуется следующими данны­ми: D = 100, Р = 75, п = 5. Оценим доходность для двух вариан­тов погашения задолженности — постнумерандо и пренумерандо. Средние сроки: Г₀ = 2,5; Г, = 3; Г₂ = 2 года.

Оценки уровня доходности:

при среднем сроке 2,5 года

/о -^гЩ~1-0.1220.

226

при выплатах постнумерандо (1^ = 3)

Точное значение для ренты постнумерандо получим на основе

равенства 75--— а_5;/|. Находим /_t = 0,1042. э

В свою очередь для ренты пренумерандо (Г₂ = 2)

Точное значение /₂ = 0,1688.

Как видим из приведенного примера, упрощенная оценка доходности с учетом вида ренты заметно уменьшает погреш­ность. Без учета этого фактора оценки оказываются весьма гру­быми и, вероятно, практически бесполезными.

Условия второй задачи. Пусть долговое обязательство преду­сматривает последовательное погашение и выплату процентов за фиксированный срок без льготного периода. Точное значе­ние доходности находим при решении уравнения эквивалент­ности

Р - J Л/ (10.24)

i

относительно дисконтного множителя v, определенного по ис­комой ставке у.

Приближенную оценку доходности j можно получить как сумму двух показателей доходности

У-/, + /, (Ю.25)

где /_э — оценка доходности, полученная на основе среднего срока по формуле (10.20), / — процентная ставка по кредиту.

В табл. 10.1 приводятся приближенные и точные значения показателей доходности (в %) при условии, что процентная ставка по кредиту равна 10%.

227

Таблица 10.1

р	ПО	100	75	70	60	50
к	-3,886	0	12,20	15,33	22,67	31,95
i	10	10	10	10	10	10
j (прибл.)	6,114	10	22,20	25,33	32,27	41,95
j (точн.)	6,175	10	23,11	26,66	35,27	46,85

Как следует из данных таблицы, чем больше разность D — Р, тем выше погрешность приближенной оценки доходности. За­метим также, что применение среднего срока в виде Г, или Т₂ увеличивает величину погрешности, так как при последователь­ной выплате процентов на остаток долга средний срок ближе к Г₀, чем к Т_{ или Т₂.