- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
§16.4. Стоимость страхового аннуитета
Отправным моментом актуарного анализа является определение стоимости страхового аннуитета. Для записи формул введем следующие обозначения для стоимостей годовых аннуитетов постнумерандо:
ах — для немедленного пожизненного аннуитета, ax:t, — для немедленного ограниченного аннуитета, пхйх — для отложенного пожизненного аннуитета, п\ахи] ~" ДЛЯ отложенного ограниченного аннуитета.
Аналогичная символика применяется и для аннуитетов пре-нумерандо, однако вместо символа а записывается а.
Пусть лицу, начиная с возраста х лет, пожизненно в конце каждого года выплачивается по 1 рублю (аннуитет пожизненный, постнумерандо, немедленный). Тогда
** = />* * v + 2/>* * v2 + • + <*-хРх * v
СО-X а-
342
'*t I * V (r+2 * ^ , + Cxv"
Умножим числитель и знаменатель каждого слагаемого на v*. После чего можно применить коммутационные функции Dx и Nx для расчета немедленного, пожизненного аннуитета постну-мерандо с ежегодными выплатами :
2'«.
xvx*J
/,xv* Dx
Аналогичным образом определим стоимости других видов аннуитета. Так, для немедленного пожизненного аннуитета пренумерандо с ежегодной выплатой по 1 руб. имеем:
ах -l + ^xv + 2/>J(xv2+... + (0.^Jcxvfl,-x -
frt—V
Ш Nx
yx+J lx X VX Ac
Нетрудно убедиться в том, что
**х = ах + 1 ИЛИ ах+\ * V = ах*
Формулы для расчета различных видов годовых аннуитетов приведены в табл. 16.3.
ПРИМЕР 16.6. Определим стоимость отложенного на 20 лет, ограниченного 5 годами аннуитета пренумерандо для мужчины в возрасте 30 лет. Находим
Nso " N55 10465,3 - 5826,7
огмЛол ci = —— — = = 0,63453.
20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
В табл. 16.3 приведены формулы для годовых аннуитетов. Если платежи выплачиваются т раз в году, то в формулах вместо Nx следует использовать Nx^m) или N^m\ Приведем формулы для соответствующих аннуитетов при условии т- 12.
343
Формулы для расчета стоимостей а
Вид аннуитета
Постнумерандо
Немедленный пожизненный
я =
х+1
Л
(16.17)
AL
Немедленный, ограниченный (выплаты в течение t лет)
Отложенный на п лет, ограниченный (выплаты в течение t лет)
л—"S^ <1619>
(16 • (
^с+1 ^c+f+1
а*-<\ л
"х+п+1 -"х+и+М
tfx-A
Для ежемесячных платежей постнумерандо имеем следующие выражения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
(16.25)
N™ Nx 11
Dx Dx 24
Немедленный ограниченный аннуитет:
(16.26)
,m JV<'2>- tf<12> ^ - *,♦, - ^(Dx - DXH) Dx Dx
Отложенный пожизненный аннуитет:
й(12> х±» 24 (16 27)
я|* Dx Dx
Отложенный ограниченный аннуитет:
уу(12) _ дг(12)
д'12' ш х + п X + W+/ ш
п\ х:<] л
"х
™х+п ~ ™х+я+/ "~ ^Т ["х+п ~ Vx+n+t)
(16.28)
ПРИМЕР 16.7. Для условий примера 16.6, но с ежемесячными выплатами, получим:
Ш* 30:51" П
10465,3 - 5826,7 - ;$j(l 124,8 - 673'1)
—24^ L . 0,60484.
731Q3
Для ежемесячных выплат постнумерандо находим следующие соотношения.
Немедленный пожизненный аннуитет:
345
д(.2> *С **+, , И
Dx Dx 24
Немедленный ограниченный аннуитет:
в(12) ш jc-»I Х+/+1 ш
х-А D
(16.29)
(16.30)
24_
Отложенный на п лет пожизненный аннуитет:
,т лг<12>, лгх+#+|+-1дг+.+1
-(12)
ш
«♦,♦! 24 . (16.31)
Отложенный ограниченный (выплаты в течение t лет) аннуитет:
„и» „и»
п\ х:(] п
°* (16.32)
^х+л+1 " Nx+n+t+\ + Тт(Ас+/ц.1 " Ar+fl+/ + l)
Современные стоимости регулярных потоков платежей (обозначим их, как это принято в финансовой математике, через Ах) определяются элементарно. Если размер годового платежа равен Л, то для немедленного пожизненного потока годовых платежей пренумерандо имеем Ах = R х ах> а для аналогичного, но отложенного на п лет аннуитета, Лх = Rx Jlxvl т.д.
ПРИМЕР 16.8. Рассчитаем актуарные стоимости нескольких вариантов аннуитетов для сорокалетнего мужчины. Платежи ежегодные и ежемесячные, выплаты — пожизненные и ограниченнные (срок — 10 лет), немедленные и отложенные на 5 лет. Сумма годового платежа 1000 руб. Полученные величины приведены в табл. 16.4.
346
Таблица 16.4
Вид |
Постнумерандо |
Пренумерандо | |||
потока |
годовые |
ежемесячн. |
годовые |
ежемесячн. | |
Немедл. Отложен. |
Пожизнен. Огранич. Пожизнен. Огранич. |
9334 6156 5529 3776 |
9792 6415 5788 3941 |
10 334 6773 6153 4171 |
9875 6490 5867 3990 |
Выделим четыре фактора, определяющих стоимость страхового аннуитета:
демографический фактор, отражаемый таблицей смертности,
процентная ставка (установленная норма доходности),
длительность отсрочки выплат,
срок аннуитета.
Кратко остановимся на указанных факторах. Ясно, что чем выше показатели смертности, тем ниже актуарная стоимость аннуитета. Отсюда следует, что при сложившейся в России демографической ситуации стоимость аннуитета для женщины будет заметно выше, чем для мужчины при всех прочих равных условиях. В табл. 16.5 приведены стоимости годовых немедленных аннуитетов пренумерандо у мужчин и женщин для двух вариантов процентной ставки — 9 и 5 % .
Таблица 16.5 Стоимости немедленных аннуитетов
|
1 = |
9% |
i = |
5% |
Возраст |
Мужчины |
Женщины |
Мужчины |
Женшивы |
18 |
11,54 |
11,87 |
18,20 |
19,33 |
30 |
11,04 |
11,61 |
16,65 |
18,22 |
40 |
10,33 |
11,17 |
14,86 |
16,80 |
50 |
9,30 |
10,41 |
12,65 |
14,50 |
60 |
7,92 |
9,17 |
10,11 |
12,16 |
70 |
6,25 |
7,22 |
7,44 |
8,16 |
Как видим, с увеличением возраста стоимость аннуитета уменьшается (так как сокращается средняя продолжительность предстоящей жизни), причем у всех возрастов стоимость аннуитета для женщин выше, чем для мужчин.
Влияние процентной ставки очевидно — повышение процентной ставки уменьшает стоимость аннуитета (см. рис. 16.1 и
347
табл. 16.5). Отсрочка выплат также сокращает эту величину. В свою очередь увеличение срока аннуитета при всех прочих равных условиях увеличивает стоимость аннуитета. Пределом, естественно, является стоимость пожизненного аннуитета (см. рис. 16.2).
л|»х
О) - П
Рис 16.1
Рис 16.2
В следующей главе показано, как стоимости страховых аннуитетов используются при решении сугубо практических задач — расчетах нетто-премий и страховых резервов в таких видах личного страхования, как страхование на дожитие, страхование жизни и индивидуальное страхование пенсий.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Гербер X. Математика страхования жизни. М.: АН К ИЛ, 1995.
Касимов Ю. Ф. Начала актуарной математики (для страхования жизни и пенсионных схем). Зеленоград, 1995.
Четыркин Е. М. Актуарные методы в негосударственном медицинском страховании. М.: Дело, 1999. Гл. 3.