§11.2. Измерение доходности облигаций

Доходность облигаций. Доходность облигаций характеризует­ся несколькими показателями. Различают купонную (coupon rate), текущую (current, running yield) и полную доходности (yield to maturity, redemption yield, yield).

^Купонная доходность определена при выпуске облигации и, следовательно, нет необходимости ее рассчитывать. Текущая доходность характеризует отношение поступлений по купонам к цене приобретения облигации. Этот параметр не учитывает второй источник дохода — получение номинала или выкупной цены в конце срока. Поэтому он непригоден при сравнении до­ходности разных видов облигаций. Достаточно отметить, что у \У облигаций с нулевым купоном текущая доходность равна нулю. В то же время они могут быть весьма доходными, если учиты­вать весь срок их "жизни".

Наиболее информативным является показатель полной до­ходности, который учитывает оба источника дохода. Именно

233

этот показатель пригоден для сравнения доходности инвести­ций в облигации и в другие ценные бумаги. Итак, полнаяjjo-ходность или, применив старую коммерческую терминологию, ставка помещения, измеряет реальную эффективность инвести­ций в облигацию для инвестора в виде годовой ставки сложных процентов. Иначе говоря, начисление процентов по ставке по­мещения на цену приобретения облигации строго эквивалент­но выплате купонного дохода и сумме погашения облигации в конце срока.

Рассмотрим методику определения показателей доходности различных видов облигаций в той последовательности, которая принята выше при классификации облигаций по способу вы­платы дохода.

v Облигации без обязательного погашения с периодической выпла­той процентов. Хотя подобного вида облигации встречаются крайне редко, знакомство с ними необходимо для получения полного представления о методике измерения доходности. При анализе данного вида облигаций выплату номинала в необозри­мом будущем во внимание не принимаем.

Введем обозначения:

>/ g — объявленная норма годового дохода (купонная ставка процента); /, — текущая доходность; / — полная доходность (ставка помещения).

Текущая доходность находится следующим образом: j /, = ^ = ^100. (11.2)

Если по купонам выплата производится р раз в году, каждый раз по ставке g/p, то и в этом случае на практике применяется формула (11.2).

Поскольку купонный доход постоянен, то текущая доход­ность продаваемых облигаций изменяется вместе с изменением их рыночной цены. Для владельца облигации, который уже ин­вестировал в нее некоторые средства, эта величина постоянна.

Перейдем к полной доходности. Поскольку доход по купо­нам является единственным источником текущих поступлений от данного вида облигации, то очевидно, что полная доходность у рассматриваемых облигаций равна текущей в случае, когда выплаты по купонам ежегодные, т.е. /=/,. Если же проценты вы-

234

плачиваются раз в году, каждый раз по норме g/p , то согласно (3.8) получим

у/

i =

( g НИМ' ( i,V

ПРИМЕР 11.1. Вечная рента, приносящая 4,5% дохода, куплена по курсу 90. Какова финансовая эффективность инвестиции при условии, что проценты выплачиваются раз в году, поквартально (Р = 4)?

( 0,05 У = 0,05; / = 1 +-^Ч - 1 =0,С

0,045 / = /_f = -^—100 = 0,05; / = |1+^т=-| -1=0,0509.

Облигации без выплаты процентов. Данный вид облигации обеспечивает ее владельцу в качестве дохода разность между но­миналом и ценой приобретения. Курс такой облигации всегда меньше 100. Для определения ставки помещения приравняем современную стоимость номинала цене приобретения:

ж, Р К

Nvⁿ = " или V^я = — =

лгу р или v _{N 10()},

где п — срок до выкупа облигации. После чего получим

¹ ' (П.4)

ПРИМЕР 11.2. Корпорация X выпустила облигации с нулевым ку­поном с погашением через 5 лет. Курс реализации 45. Доход­ность облигации на дату погашения

/•-4— -1-0,1731$

V100

т.е. облигация обеспечивает инвестору 17,316% годового дохода.

Облигации с выплатой процентов и номинала в конце срока. Проценты здесь начисляются за весь срок и выплачиваются од­ной суммой (lump sum) вместе с номиналом. Купонного дохода

235

нет. Поэтому текущую доходность условно можно считать ну­левой, поскольку соответствующие проценты получают в конце срока.

Найдем полную доходность, приравняв современную стои­мость дохода цене облигации:

(1 + g)"Nv" = Р или ' -¹

1+/ 100'

Из последней формулы следует

/-ilL-i. (11.5)

"'100

10( Если курс облигации меньше 100, то / > g.

ПРИМЕР 11.3. Облигация, приносящая 10% годовых относитель­но номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения 3 года. Ес­ли номинал и проценты выплачиваются в конце срока, то полная доходность для инвестора составит

«0,26956, или 26,956%.

Облигации с периодической выплатой процентов и погашением номинала в конце срока. Этот вид облигаций получил наибольшее распространение в современной практике. Для такой облигации можно получить все три показателя доходности — купонную, те­кущую и полную. Текущая доходность рассчитывается по полу­ченной выше формуле (11.2). Что касается полной доходности, то для ее определения необходимо современную стоимость всех поступлений приравнять цене облигации. Поскольку поступле­ния по купонам представляют собой постоянную ренту постну-мерандо, то член такой ренты равен gN₉ а современная ее стои­мость составит gNa_n._n если купоны оплачиваются ежегодно, и gN(№._r если эти выплаты поизводятся р раз в году, каждый раз по ставке g/p. Дисконтированная величина номинала равна Nvⁿ. В итогб получим следующие равенства. Для облигации с годовы­ми купонами

Р « Nvⁿ +gN^v* « Nvⁿ + gNa_n._h (11.6)

l

236

откуда

Для облигации с погашением купонов по полугодиям и по­квартально часто применяют

где a^(pJ.. — коэффициент приведения /ьсрочной ренты (р = 2, Р = 4)^Я,/.

Во всех приведенных формулах V^я означает дисконтный множитель по неизвестной годовой ставке помещения /.

Б зарубежной практике, однако, для облигаций с полугодо­выми и квартальными выплатами текущего дохода для дискон­тирования применяется годовая номинальная ставка, причем число раз дисконтирования в году обычно принимается рав­ным числу раз выплат купонного дохода (р = /и). Таким обра­зом, исходное для расчета ставки помещения равенство имеет вид

где у — номинальная годовая ставка, рп — общее количество ку­понных выплат, g — годовой процент выплат по купонам.

Искомые размеры ставок (/ nj) в формулах (11.8) и (11.9) не­сопоставимы, так как получены для разных условий: т = 1 и т = р.

При решении приведенных выше равенств относительно не­известной величины / или J сталкиваются с такими же пробле­мами, что и при расчете / по заданной величине коэффициен­та приведения ренты (см. § 5.3). Искомые значения ставки по­мещения рассчитываются или с помощью интерполяции, или каким-либо итерационным методом. В одной из версий пакета Excel содержится программа ДОХОД (Yield) для расчета /.

Оценим / с помощью линейной интерполяции:

/=/'+ _к,1_K„(i"-i% (НЮ)

237

где Г и /" — нижнее и верхнее значения ставки помещения, ог­раничивающие интервал, в пределах которого как ожидается на­ходится неизвестное значение ставки, К\ К'¹ — расчетные значе­ния курса соответственно для ставок /', /". Интервал ставок для интерполяции определяется с учетом того, что / >g при К < 100.

В финансовой литературе иногда рекомендуют метод при­ближенной оценки, согласно которому

£+(l —)/п

{ 100J'

В этой формуле средний годовой доход от облигации соот­носится со средней ее ценой. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки. Чем больше курс отличается от 100, тем больше погрешность.

ПРИМЕР 11.4. Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются раз в году по норме 8%, куплена по курсу 65.

Текущая доходность по облигации: 8/65 = 0,12308.

Для расчета полной доходности запишем исходное равенство (см. (11.7)):

0,65 = (1 +/Г⁵+ 0,08а_5;/.Приближенное решение по (11.11) дает

_/=В+ (100-65)/5

(100+ 65)/2 ^u»^,ol°*-

Проверка: при данной величине доходности рыночный курс со­ставит

-^ = 1,18182-5 + 0,08а₅.₁₈₁₈₂ = 0,6829.

Курс заметно выше 65 — как видим, доходность занижена. Положим, что искомая ставка находится в интервале 12,5 + 20%. Соответственно получим К' = 0,83977 и К" = 0,64113. По интерполяционным формулам находим:

83,977 - 65 ^/=12'⁵⁺ 83,977 - 64,113 (И» - 12,5) = 19,66%.

238

Курс при такой ставке составит 64,87. Расчетный курс весьма близок к рыночному, и, следовательно, данная оценка ставки точ­нее, чем оценка 18,18%. Точная величина / = 19,62%.

Все рассмотренные выше формулы для расчета полной до­ходности предполагают, что оценка производится на начало срока облигации или на дату выплаты процентов при условии, что проценты на эту дату уже выплачены. Для случая, когда оценка производится на момент между двумя датами выплат процентов, приведенные формулы дадут смещенные оценки, так как не учитывают накопленные проценты. Необходимо принять во внимание, что срок погашения и выплат процентов до момента оценки сокращается. Доходность в этом случае можно определить на основе следующего равенства:

где к — доля купонного периода, d — количество оставшихся купонов.