§15.3. Модель Блека—Шоулза

Опционы представляют определенный интерес не только в практическом плане, но и в теоретическом — с позиции коли­чественного анализа, который осуществляется с помощью раз­работки специальных моделей (option models), описывающих взаимосвязи основных параметров опционов. Следует, однако,

327

заметить, что теоретические цены опционов, полученные по моделям, в силу неполноты учета экономических условий и их изменчивости, условности входящих статистических данных, как правило, отличаются от рыночных. Вместе с тем, принято считать, что если рыночная цена опциона сильно занижена от­носительно теоретической цены, то есть основание для его по­купки.

Детальное рассмотрение моделей опционов неосуществимо в рамках учебника. Поэтому ограничимся только краткой харак­теристикой наиболее известной из них — модели Блека—Шоул-за (Black—Scholes). Модель Блека—Шоулза разработана в раз­личных модификациях для некоторых видов опционов. Остано­вимся на одной, самой простой модификации, — опцион колл цен обыкновенной акции, при условии, что дивиденды по ак­ции не выплачиваются до дня исполнения.

Выше уже говорилось о том, что цены опционов определя­ются на рынке и зависят от ряда известных и неизвестных на момент его покупки параметров. К основным параметрам мож­но отнести:

• уровень цены исполнения,

• текущая цена базового инструмента,

• распределение вероятностей рыночной цены базового ин­струмента,

• размер процентной ставки,

• срок исполнения опциона.

Все названные факторы учитываются в формуле Блека—Шо­улза. Для ее записи введем обозначения:

с — цена опциона,

S — текущая цена акции,

Е — цена исполнения,

е⁴** — дисконтный множитель на срок / по непрерывной

ставке б, / — срок до даты исполнения, S — непрерывная процентная ставка (сила роста), принятая

для дисконтирования, N(d_x) и N(d₂) — функции нормального распределения, о² — дисперсия доходности акции (доходность измеряется в

виде ставки непрерывных процентов). Находим

с = S х #Ц) - Е х е~^ы х N(d₂). (15.3)

328

ПРИМ вестнь года),

rs*

II ф _к ОЙ СЛ

u5io

II s =1

ОЛОЖИ епара 0,09,

°* £ 2

II Ф "

°3 1

1ь Е °

т СП ш

ю II 2

§ Ш1

|"^5

II Э

« " о

т\

«к- - *

g ^ S

I II О

X 2 S

rou ьээ ено

^1з

s °° 2

f?o^

СЛ 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 о — То "ы 4^ "Ln Ъ\ Vj Ъо чо "о — to *u> 4^ Vi Ъ\ "•<* Ьо so	«J
оооооооооооооооооооо _ — —ооооооооооооооооо UiU-SOOOONU»^UWW---000000	N(d)
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о bo^j^^^ul^To^—o^o^-tol^^^^sVibovo	*•
о р о о о о р р о о р р р р о р р о р р 0000Ui-Uivl\O\£)\0OOOOt4)t00^NJ-^ — OvlUi^^OWOOVOO- Гч)^ — Q\ Ui Ы О SO -	N(d)
OO^bNUlVt^NJ^O^boVl^st^V^'rO — OSO	4
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ° ^C ^P ^C ^P ^C -sO vO SO SO SO vp sO vp vO vO vp oo bo oo oo SDSOSOsOsDOOOOOO«g>JO>Ui$U-*0000>^>-N]C\LAW-'SOOSK>N)»*^UUlWSOWA^-*Lft	W)

d₂ -0,0517-0,3>/0J5 - -0,208.

По таблице плотности нормального распределения находим:

Л/(0,05) = 0,5199,

Л/(-0,2) = 0,4207. Таким образом,

с = 100 х 0,5199 - 110 х е"⁰'¹ * °«⁷⁵ х 0,4207 = 9,06.

При сравнении формул (15.2) и (15.1) легко заметить, что в обеих формулах определяется разность величин S и Е. Однако, в (15.2) эти величины подвергаются взвешиванию, в качестве весов выступают вероятности. Причем N(d₂) можно трактовать как вероятность исполнения опциона на момент истечения срока.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Шарп У.Ф., Александер ГДж,. БейлиДж. В. Инвестиции. Пер. с англ. М: Ин-фра-М, 1997. Гл. 20.

2. Браун СДж., Кришмен ММ. и др. Количественные методы финансового ана­лиза. Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996. Гл. 5.

3. Хостинге Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. Пер. с англ. М: Статистика, 1980.