1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности на­селения ссср 1984—1985 гг.

336

Wx-l-^x-^y^-f Ydj. (16.2)

ПРИМЕР 16.2. Вероятность для мужчины в возрасте 30 лет уме­реть в течение 10 следующих лет определяется как

ю^зо ^{= 1} " ю^зо ^{= 1} " 0,95191 = 0,04809.

Вероятность умереть через т лет (на протяжении года т + 1) для лица в возрасте х лет составит:

ХТЩ JCt/Я Хт/П i\C *>\

niflx ⁼ тРх ^х Ях+т ⁼ ~Г~ * 1 ⁼ ~~Т~' ⁽ '

х х+т х

В свою очередь вероятность для лица в возрасте х лет уме­реть в возрастном интервале от jc + /и до Jt + m + л лет опреде­лим следующим путем:

	m\rflx	х+т	х+т+п	- =	х+т *х	*х+т	х+т+п х+т
Из	последнего выражения			вытекает,		что
			т\гпх	тгх	х fflx+n	г*

(16.4)

Иначе говоря, искомая вероятность равна произведению ве­роятности дожить до возраста х + т и вероятности умереть в следующие п лет.

ПРИМЕР 16.3. Найдем для мужчины в возрасте 30 лет вероят­ность умереть в течение двух лет после достижения им 33 лет. Находим

_п ^Ч^ 95 821-94 951 31^30-—j— geg^ -0,00897.

В некоторых актуарных расчетах (например, в пенсионном страховании) необходимы вероятности дожития супружеских пар. Эти вероятности также рассчитываются по таблицам смертности. Пусть речь идет о супругах в возрасте х и у лет и необходимо оценить вероятности прожить еще п лет для каждо-

337

го из них. Обозначим эти вероятности как _пр_х\ _пр . Определим их следующим образом:

_ ^х+п — у*^п

пРх ~~ i ' пРу ~~ [ > х у

где l_x, I — числа доживших до соответствующих возрастов (бе­рутся из таблиц смертности для мужчин и женщин).

В свою очередь вероятности умереть для каждого из супру­гов составят:

rflx ~~ nPx⁹ rfly ~~ пРу

Рассчитаем еще две вероятности. Однако предварительно примем две рабочие гипотезы:

• оба супруга достигают возрастов хи^в один день;

• смерть одного супруга — страховое событие, независимое от смерти другого супруга.

Вероятность прожить супругам вместе еще п лет (вероят­ность "сохранения" супружеской пары) рассчитывается как произведение вероятностей двух независимых событий:

(у+я *у+п *х+я ^Х 'у+п _/t, <-_ч

пРху⁼ _ПРх*пРу = -у-*1= / _х/ ' ^(1б-⁵⁾

х у х у

В актуарной практике фигурирующие в формуле произве­дения чисел доживших принято обозначать следующим обра­зом:

(к ^Х у ~~ *ху ^И (к+я ^х *у+п ~~ (яу+я*

Формулу (16.5) теперь можно записать:

ху+п

„Pv = "f• 06.6)

ху

Найдем теперь вероятность того, что супруг (заключивший договор страхования в возрасте х лет, когда его супруге было у лет) не доживет до jc + п лет, а супруга, напротив, доживет до у + п лет. Искомая вероятность (обозначим ее как _пр_х\_у) равна произведению вероятностей:

338

пРЛу - пЯх* пРу- О ~ пР_Х)пРу - пРу - пРх ^х пРу - У *У

ПРИМЕР 16.4. Пусть возраст супругов 50 и 45 лет. По таблицам смертности находим:

для мужчины /cq = 83640, /« = 77007,

для женщины 1^ = 96261, /^ = 94348.

Вероятность того, что оба супруга проживут следующие 5 лет, составит:

77007 94348

₅Р50;45 = 5%) * 5*>45 = ~£^ * "эЙбГ ⁼ °*^{92070 Х} °*^{98013 =}

= 0,9024.

Вероятность того, что супруг не проживет 5 лет, а супруга про­живет (см.(16.7)):

505OI45 = И - ₅Р50>5Р45 = О ~ 0.9207) х 0,98013 = 0,007772.