§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения

и дисконтирования по разным видам процентных ставок

Выше для наращения и дисконтирования использовались ставки i_s, i,j, d_s, d,f. Заметим, что даже в одинаковых исходных условиях применение этих ставок приводит к различным ре­зультатам. В связи с этим представляет практический интерес сравнение результатов наращения и дисконтирования по раз­личным ставкам. Для этого достаточно сопоставить соответст­вующие множители наращения. Аналогичное можно проделать и с дисконтными множителями. Проблема сопоставления ско­рости роста при наращении по простой и сложной ставкам бы­ла затронута в § 3.2.

Опустив формальные доказательства, запишем сразу необхо­димые соотношения при условии, что размеры ставок одинако­вые. Варианты со ставками у и /рассматривать не будем, так как результат зависит и от значения /и.

57

Множители наращения соотносятся между собой следую­щим образом:

(1+,Г<1+_Я/,<-_Г^Г<7]-Г^Г при 0 < Ж 1,

1 + /=1 + /;<_т

1 - d

при п = 1,

^{1+Ч<о + о-<7гг^г<—^ "ри«>1.}

Как видим, соотношения множителей зависят от сроков на­ращения процентов. Так, для срока, превышающего год, наи­больший рост дает простая учетная ставка, наименьший — ставка простых процентов. В табл. 3.2 приведены значения множителей наращения для разных видов ставок при условии, что их размеры одинаковы — 20%.

Таблица 3.2

Множители наращения		для разных видов ставок (20%)
Срок (в годах)	'.	i	<	d
0,5	1,10	1,0954	1,1111	1,1180
0,8	1,16	1,1570	1,1905	1,1954
1,0	1,20	1,2000	1,2500	1,2500
1,5	1,30	1,3145	1,4286	1,3975
2,0	1,40	1,4400	1,6667	1,5625
3,0	1,60	1,7280	2,5000	1,9531
5,0	2,00	2,4883	00	3,0517
10,0	11,00	6,1917	00	9,3132

Аналогичным образом получим соотношения для дисконт­ных множителей:

(1-4^я<1-ч<т^^<7Г"Ьг' ^пр^и0<я<ь ^l~^d=l~^d'^<TTT^3SlT7 ^пр^{ия = 1}>

>-Ч<(1-^<тгТо^;г<-П^ ^ПРИЛ>1-

58

Для срока более года наиболее сильно дисконтирование про­является при применении простой ставки процента и в наимень­шей степени — при использовании простой учетной ставки.

§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки

При разработке условий финансовых операций часто стал­киваются с необходимостью решения обратных задач — расче­том продолжительности ссуды или уровня процентной ставки. Для простых процентов эти задачи рассмотрены в гл. 2. Обра­тимся к операциям со сложными ставками и решим уравнения, связывающие Р и S, относительно интересующих нас величин. Полученные формулы приводятся без доказательств, поскольку вывод их элементарен.

Срок ссуды. Приведем формулы расчета п для различных ус­ловий наращения процентов и дисконтирования.

При наращении по сложной годовой ставке / и по номиналь­ной ставке у на основе формул (3.1) и (3.7) имеем

""togd+O* ^(ЗЛ8)

\QS(S/P) п- '. -Г. (3.19)

т х log 1 + —

При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке/получим

ШР/S) "⁼log(l-</)' ⁽³²⁰⁾

ШР/S) „„,

т х log

я= ;—. (3.21)

ПРИМЕР 3.13. За какой срок в годах сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн руб. при начислении процентов по сложной

59

ставке 15% раз в году и поквартально? По формулам (3.18) и (3.19) получим следующие сроки:

log(200/75) _7л^_о ^П=Юд1.1Б ⁼⁷-^0178ro«^a-

log(200/75) _{e еел},

п =²—^ = 6,6607 года.

4 ж,og 1 ₊ 0^i

Величина процентной ставни. Приведем формулы для расчета ставок /, j, d, /для различных условий наращения процентов и дисконтирования. Они получены при решении уравнений, свя­зывающих S и Р.

При наращении по сложной годовой ставке процентов / и по номинальной ставке j получим

/ - ⁿ4s I P - 1, (3.22)

j = m^ⁿyjI7~P-l). (3.23)

При дисконтировании по сложным учетным ставкам d и / d « 1 - fjp 1S, (3.24)

/«m(l-*V^7?). (3.25)

ПРИМЕР 3.14. Сберегательный сертификат куплен за 100 тыс. руб., выкупная его сумма 160 тыс. руб., срок 2,5 года. Каков уро­вень доходности инвестиций в виде годовой ставки сложных про­центов? По формуле (3.23) находим

/.²^6 _1.0,20684.

ПРИМЕР 3.15. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дис­конт при его учете составил 30%. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт?

Применим формулу (3.24). По данным задачи P/S=0,7, откуда

d-1-Voj «0,16334

60