§4.2. Эквивалентность процентных ставок

Как было показано ранее, для процедур наращения и дис­контирования могут применяться различные виды процентных ставок. Определим теперь те их значения, которые в конкрет­ных условиях приводят к одинаковым финансовым результа­там. Иначе говоря, замена одного вида ставки на другой при соблюдении принципа эквивалентности не изменяет финансо­вых отношений сторон в рамках одной операции. Для участ­вующих в сделке сторон в общем безразлично, какой вид став­ки фигурирует в контракте. Такие ставки назовем эквивалент-ними.

Проблема эквивалентности ставок уже затрагивалась в гл. 3 при определении эффективной ставки процента: сложная годо­вая ставка / эквивалентна ставке j при начислении процентов т раз в году. Рассмотрим теперь проблему эквивалентности ставок более полно и систематизированно. В принципе соот­ношение эквивалентности можно найти для любой пары раз­личного вида ставок — простых и сложных, дискретных и не­прерывных.

Формулы эквивалентности ставок во всех случаях получим исходя из равенства взятых попарно множителей наращения. Приведем простой пример. Определим соотношение эквива­лентности между простой и сложной ставками. Для этого при­равняем друг к другу соответствующие множители наращения:

(1 + ni_s) = (1 + /)",

где /₅ и / — ставки простых и сложных процентов.

Приведенное равенство предполагает, что начальные и нара­щенные суммы при применении двух видов ставок идентичны (см. рис. 4.1).

68

Сумма А

Срок

Рис. 4.1

Решение приведенного выше равенства дает следующие со­отношения эквивалентности:

_ (1 + 0^я

1,

(4.6)

/ - \1 + л/ - 1-

(4.7)

Аналогичным образом определим и другие, приведенные ни­же, соотношения эквивалентности ставок.

Эквивалентность простых процентных ставок. При выводе ис­комых соотношений между ставкой процента и учетной ставкой следует иметь в виду, что при применении этих ставок исполь­зуется временная база К= 360 или К= 365 дней. Если времен­ные базы одинаковы, то из равенства соответствующих множи­телей наращения следует:

'* \-nd:

(4.8)

^d' 1+w/

(4.9)

где п — срок в годах, /_s — ставка простых процентов, d_s — про­стая учетная ставка.

ПРИМЕР 4.3. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15%. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки? По (4.8) находим

0,15

'^s 1-0,15

= 0,17647, или 17,647%.

69

Иначе говоря, операция учета по учетной ставке 15% за год дает тот же доход, что и наращение по ставке 17,647%.

Следует обратить внимание на то, что отношения эквива­лентности между простыми ставками i_s и d_s существенно зави­сят от срока операции. Например, для d = 10 % находим следу­ющие размеры эквивалентных ставок:

п (в годах) 0,1 0,5 1 2 5 10

/,(%) 10,1 10,5 11,1 12,5 20 оо

Пусть срок ссуды измеряется в днях, тогда, подставив в (4.8) и (4.9) п = t/K (напомним, что / — срок наращения процентов в днях, К — временная база), получим варианты соотношений эквивалентности:

а) временные базы одинаковы и равны 360 дням:

360

'--1бо^' ^(4|0>

360/

". = 15П^ <⁴">

б) если при начислении процентов принята база К = 365, а для учетной ставки К = 360, то

/- ³⁶⁵4 (4.2)

° 360 -td/ ^^Л1)

360/

ПРИМЕР 4.4. Необходимо найти величину учетной ставки, экви­валентной годовой процентной ставке 40% (К = 365) при условии, что срок учета равен 255 дням. Находим по формуле (4.13)