§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных

Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. § 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комис­сионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере D выдана на срок л. При ее выдаче удерживаются комиссионные за операцию (G). Фактически вы­данная ссуда равна D — G Пусть для начала сделка предусмат­ривает начисление простых процентов по ставке /. При опреде­лении доходности этой операции в виде годовой ставки слож­ных процентов /_э исходя из того, что наращение величины D — — G по этой ставке должно дать тот же результат, что и нара­щение D по ставке /. Разумеется, уменьшение фактической сум­мы кредита связано не только с удержанием комиссионных.

213

Однако для краткости любое удержание денег, сделанное в пользу кредитора, будем в этой главе называть комиссионными. По определению уравнение эквивалентности запишем в виде

(/)- С)(1 + /_э)"=/)(1 + ш).

Графическое изображение данной сделки (контур) показано на рис. 10.2.

Пусть D — G = D{\ — g), где g — относительная величина ко­миссионных в сумме кредита, тогда

\ 1 + nl

/, - 1\

-1.

(Ю.2)

При определении степени корня будем полагать, что времен­ная база всегда равна 365 дням. Полученный показатель доход­ности можно интерпретировать как скорректированную цену кредита.

Ставка /_э не фигурирует в условиях операции, она полностью определяется ставкой процента и относительной величиной ко­миссионных при заданном сроке сделки. Предположим, что не­обходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов /_эп. В этом случае на основе соответствующего урав­нения эквивалентности находим

1 + ni С = — : 1.

(1-*)"

(Ю.З)

о,

0(1 +w)

D-G

Рис. 10.2

ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кре­дита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? По формуле (10.2) находим

214

		-1-0,0927, или 9,27%.
/' * 180/365 1	L±llx0.08 365
	1-М 100

Если ссуда выдается под сложные проценты, то исходное уравнение для определения /_э имеет вид

(D- G)(l + /_э)" = D{\ + /)".

Следовательно,

^{, + /} -1. (10.4)

_"ч/Ы

ПРИМЕР 10.2. В какой мере удержание комиссионных из расче­та 1% суммы кредита увеличивает эффективность ссуды для кре­дитора при пяти- и десятилетнем сроке? Находим

-7-J1 - 0,002, или 0,2%; --7=!-1 - 0,001, или 0,1%.

Vl-0,01 4/1-0,01

Учетные операции. Если доход извлекается из операции уче­та по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных определяется по формуле эквива­лентной ставки (4.22). При удержании комиссионных и дис­конта заемщик получает сумму D - Dd - G или Д1 - nd - g). Напомним, что (/означает простую учетную ставку, a g — отно­сительную величину комиссионных в сумме кредита. Уравне­ние эквивалентности в данном случае имеет вид

D(\ -nd-g)(\ + /_э)" = D. Отсюда

Ит^Ьт-^{1, <10}-⁵⁾

где п — срок, определяемый при учете долгового обязательства.

215

Для полного показателя доходности в виде простой ставки

/_эп находим

i-d-j,-»-'- <'°-^б>

ПРИМЕР 10.3. Вексель учтен по ставке d = 10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Доходность операции согласно (10.5) при условии, что временная база учета 360 дней, составит

^-Цо.1-0.005 Эффективность без удержания комиссионных — 10,8%.

Во всех рассмотренных случаях искомая ставка /_э представ­ляет собой частный случай упомянутой выше ПД. Заметим, что влияние комиссионных на /_э уменьшается по мере увеличения срока сделки.

Удержание комиссионных — не единственная возможность изменения фактической суммы инвестиций по сравнению с но­миналом. В практике возможны случаи, когда инвестор несет дополнительные расходы, например, приобретая опцион на право купить ценную бумагу. Такие расходы, очевидно, фор­мально можно рассматривать как комиссионные с обратным знаком (—G) и для расчета применять полученные выше фор­мулы (10.2)—(10.6).