- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
§9.3. Погашение долга в рассрочку
В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Он осуществляется различными способами:
— погашением основного долга равными суммами (равными долями),
189
— погашением всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга.
Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение п лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит
D
d=—. п
Размер долга последовательно сокращается: Д D— d, D—2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они равны Dgj (D — d)g, (D - 2d)g и т.д. Процентные платежи, как видим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Dg и разностью —dg.
Срочная уплата в конце первого года находится как
Yx = Dg + d.
Для конца года / находим
rt-DMg+d9 t= 1,..., л, (9.6)
где Dt — остаток долга на конец года /.
Остаток долга можно определять последовательно:
о,= оы-—.
' ^' п
Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:
г'=^-+-£•"*• ■■■■""■ <97>
Остаток задолженности на конец года t в этом случае составит
_ рп - 1 Dt = 0М- .
' ^' рп
190
ПРИМЕР 9.5. Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами пост-нумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10% годовых.
Размер погашения основного долга 1000 : 5 = 200 тыс. руб. в год. Ежегодные процентные платежи составят: 1000x0,1 = 100; (1000 - 200) х 0,1 = 80 и т.д. План погашения представлен в следующей таблице.
Год |
Остаток долга |
Расходы |
Погашение |
Проценты |
|
на начало года |
по займу |
долга |
|
1 |
1000 |
300 |
200 |
100 |
2 |
800 |
280 |
200 |
80 |
3 |
600 |
260 |
200 |
60 |
4 |
400 |
240 |
200 |
40 |
5 |
200 |
220 |
200 |
20 |
Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расходов по займу, но и соотношения процентов и сумм погашения основного долга.
У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, как мы только что убедились, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежелательным для должника.
Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению
К= D^g* Л, = const.
План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более редким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.
Задан срок погашения. Первый этап разработки плана погашения — определение размера срочной уплаты. Далее получен-
191
ная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.
Периодическая выплата постоянной суммы У равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим
D У=—> (9.8)
где а„.а — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком я.
Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины К и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По определению
</, = К" Dg.
Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени:
rf,»rfM(l+*), (9.9)
В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд dv dx{\ +g), ..., dx(\ +£)"-'.
По этим данным легко определить сумму погашенной задолженности на конец года / после очередной выплаты:
Wt-'id^l + gf -d{st;g, (9.10)
где stg — коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.
ПРИМЕР 9.6. Условия погашения займа те же, что и в примере 9.5. Однако погашение производится равными срочными уплатами, т.е. рентой постнумерандо с параметрами: У (неизвестная величина), п = 5, д = 10%.
Находим: а5;10 = 3,790787. После чего
1000 Y = V^^T = 263,797 тыс. руб. 3,79079
192
Далее определим
d, = 263,797 - 1000 х 0,1 = 163,797 тыс. руб. и остаток долга после первого погашения
D1 = 1000 - 163,797 = 836,203 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.
Гад |
Остаток долга |
Расходы |
Проценты |
Погашение |
|
на начало года |
по займу |
|
долга |
1 |
1000,000 |
263,797 |
100,000 |
163,797 |
2 |
836,203 |
263,797 |
83,620 |
80,177 |
3 |
656,026 |
263,797 |
65,603 |
198,195 |
4 |
457,831 |
263,797 |
45,783 |
218,014 |
5 |
239,816 |
263,797 |
23,982 |
239,816 |
Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы погашения основного долга систематически увеличиваются.
Продолжим пример. Допустим, необходимо найти сумму погашенного долга на конец третьего года погашения при условии, что план погашения не разработан. Для решения воспользуемся формулой (9.10). Находим s3;10 = 3,31, сумма первого платежа определена выше — cf1 = 163,794, таким образом,
W3 = 163,794 х 3,31 = 542,169 тыс. руб.
Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.
Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка задачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погашения долга и достижении полной сбалансированности платежей.
Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Эта проблема подробно обсуждалась в § 5.4 (см. формулы (5.28)— (5.37)), поэтому не будем останавливаться на ней. Ограничимся лишь одной иллюстрацией. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим (5.29), где символ R заменен на К, а / — на g:
я =■
1п(1 + g)
(9.11)
193
Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Расчетное значение п в общем случае оказывается дробным.
ПРИМЕР 9.7. Долг равен 1000 тыс. руб. и выдан под 10% годовых. Для его погашения предполагается выделять сумму порядка 200 тыс. руб. в год. Оценим величину срока, необходимого для погашения задолженности;
-In
200
n= i^n =7'27r<*a-
Округлим расчетный срок до 7 лет. Для того чтобы полностью рассчитаться, необходимо несколько повысить срочные уплаты, а именно:
v 1000 1000 ОЛС„ле
V = — = -ГТ7777Г = 205,405 тыс. руб.
a7,io 4,868418
Альтернативой является адекватная компенсация недостающего покрытия долга при выплате ренты с членом 200 тыс. руб. и сроком 7 лет.
Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график погашения), либо следуют какому-либо формальному закону (прогрессии, заданной функции). Остановимся только на одном варианте — изменении расходов по геометрической прогрессии.
Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно записать в виде членов переменной ренты К, Yq, Yep-, ..., Yq"~l. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первоначального долга, находим;
Q
-
(1 + я)
Y=
D ;
\ *}
, (9.12)
- 1
где q — заданный годовой темп роста платежей, g — процентная ставка по займу.
Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается детальный план погашения.
194
ПРИМЕР 9.8. Пусть расходы по займу (сумма долга —1000 тыс. руб.) уменьшаются каждый год на 10%; общий срок погашения 5 лет, ставка процента по долгу — 6% годовых. По условиям задачи: D0 = 1000, п = 5, д = 0,06, q = 0,9. Согласно (9.12) первая срочная уплата составит:
0,9 - 1,06 Y. = 1000—■= 286,353 тыс. руб.
(0,9 V» 11,06 J
Процентные платежи в первом периоде 1000 х 0,06 = = 60 тыс. руб., соответственно, сумма погашения долга равна 286,353 - 60 = 226,353 тыс. руб., остаток задолженности на начало второго года 1000 - 226,353 = 773,647 тыс. руб. Срочные уплаты находятся как Yt x 0,9м. План погашения долга представлен в таблице.
Год |
Остаток долга |
Расходы |
Проценты |
Погашение |
|
на начало года |
по займу |
|
долга |
1 |
1000,000 |
286,353 |
60,000 |
226,353 |
2 |
773,647 |
257,717 |
46,419 |
211,298 |
3 |
562,349 |
231,946 |
33,741 |
198,205 |
4 |
364,144 |
208,751 |
21,849 |
186,902 |
5 |
177,241 |
187,875 |
10,634 |
177,241 |
В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожидаемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде графика погашения. Размер последней срочной уплаты не задается. Она определяется как сумма остатка долга на начало последнего периода.
ПРИМЕР 9.9. Долг в размере 100 000 руб. решено погасить по специальному графику за четыре года — суммы расходов по погашению долга по годам: 40, 20 и 30 тыс. руб. Остаток выплачивается в конце четвертого года.
План погашения имеет следующий вид при условии, что ставка процента по долгу установлена на уровне 10% (см. таблицу).
Год |
Остаток долга |
Расходы |
Проценты |
Погашение |
|
на начало года |
по займу |
|
долга |
1 |
100 000 |
40 000 |
10 000 |
30 000 |
2 |
70 000 |
20 000 |
7000 |
13 000 |
3 |
57 000 |
30 000 |
5700 |
24 300 |
4 |
32 700 |
35 970 |
3270 |
32 700 |
195