22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд фор­мируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года рав­ными суммами.

Таким образом, имеем D = 100, п = N = 5, д = 20%, / = 22%. Находим s_5;22 = 7,7395826 и, следовательно,

100 У = 100 х 0,2 + -гзгггггг = 20 + 12,92059 = 32,92687 млн руб. 7,7о9оо2о

Пусть теперь условия контракта предусматривают присоеди­нение процентов к основной сумме долга, тогда согласно (9.3)

100 х 1,2^{5 Y=} 7,735826 = 32,16618 млн руб.

При создании погасительного фонда используются две про­центные ставки — / и g. Первая определяет темп роста погаси­тельного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процен­тов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погаше­ния долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность / — g, тем, оче­видно, больше экономия средств должника, направляемая на по­крытие долга. В случае, когда / =g, преимущества создания фон­да пропадают — финансовые результаты для должника оказыва­ются такими же, как и при погашении долга частями (о чем речь пойдет ниже).

Накопленные за / лет средства фонда определяются по зна­комым нам формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

5_ж«5,(1+/) + Л <⁹-⁴>

ПРИМЕР 9.2. Продолжим пример 9.1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только по­следние четыре года, остальные условия сохраняются. Тогда

_ 100 100 _4Q4M

^я=^⁼^^"⁼¹⁸'^{102млнруб}-

План формирования такого фонда (в тыс. руб.) представлен в таблице.

187

Год	Проценты	Взносы	Расходы по займу	Накопления (на конец срока)1
1 2 3 4 5	10 000 10 000 10 000 10 000 10 000	18 102 18 102 18 102 18 102	10 000 28 102 28 102 28 102 28 102	32 871 26 943 22 084 18 102
1 Сумма взноса с процентами		на конец срока.		100 000

Формулы (9.2) и (9.3) получены для ежегодных взносов и на­числений процентов. Если это не так, то применяются соответ­ствующие методы расчета процентов и сумм взносов в фонд (см. следующий пример).

ПРИМЕР 9.3. Внесем еще одно изменение в условия примера 9.1. Пусть взносы вносятся не ежегодно, а в конце каждого меся­ца, т.е. р = 12. Проценты выплачиваются кредитору ежегодно. Ко­эффициент наращения в этом случае равен s^fcM. 5.8). Годовая сумма взносов в фонд составит

R =

100

-(12) ^S5;22

100

8,49199

= 11,7758 млн руб.

Изменяющиеся взносы. Равные взносы в фонд — простое, но далеко не единственное решение проблемы накопления необ­ходимой суммы денег. В зависимости от конкретных условий могут оказаться предпочтительными изменяющиеся во времени суммы взносов. В таких случаях следует воспользоваться ре­зультатами, полученными для переменных рент (см. гл. 6). Ог­раничимся примером, когда взносы в фонд следуют арифмети­ческой прогрессии. Срочные уплаты в рассматриваемых усло­виях изменяются во времени:

Y_t=Dg+R_r

где R_t= R+ a(t- 1), / = 1,..., N.

Разность прогрессии равна а, первый член — R. Последняя величина определяется следующим образом:

^J-i^a + o'-o + M)

*N:i

(9.5)

188

ПРИМЕР 9.4. В фонд погашения долга средства поступают в ви­де ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок пога­шения долга). Платежи каждый раз увеличиваются на 500 тыс. руб. Пусть размер долга на момент его погашения равен 10 млн руб., на взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Для разработки плана создания фонда определим величину пер­вого взноса. Предварительно находим s_5;10 = 6,2051;

Я =

1

6,1051

10000 - 500

1,1⁵-(1 +5x0,1)

0,1²

= 732,91 тыс. руб.

Откуда

Я,= 731,91 +500U- 1); f= 1

Динамика расходов должника при условии, что кредитору вы­плачивается 9,5%, показана в таблице. В ней, в отличие от табли­цы примера 9.2, в последней графе показаны суммарные (куму­лятивные) накопления, которые определены по рекуррентной формуле (9.4).

Год	Проценты	Взносы	Расходы по займу	Накопления на конец года
1	950	732,91	1682,91	732,91
2	950	1232,91	2182,91	2039,11
3	950	1732,91	2682,91	3975,93
4	950	2232,91	3182,91	6606,44
5	950	2732,91	3682,91	10000,00

Если взносы в данном примере представляют собой убываю­щую арифметическую прогрессию, допустим а = -500, то первый взнос составит

Я =

1

6,1051

10000 + 500

1,1⁵-(1 +5x0,1)

0,01

= 2543,04 тыс. руб.