§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои разме­ры во времени с постоянным относительным ростом, т.е. сле­дуют геометрической прогрессии. Поток таких платежей состо­ит из членов Л, Rq, /?^²,..., Rqⁿ~^x (q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv¹, ..., Rqⁿ~^xvⁿ. Получена геометрическая про­грессия с первым членом Rv и знаменателем qv . Сумма членов этой прогрессии равна

q"v" — 1 (qv)" — 1

_А = _Rv* - = _R w > _(6л3)

qv 1 q- (1 + i)

Пусть теперь q = 1 + к, где к — темп прироста платежей. После простых преобразований получим

_,1 + к)"

A = R :_ _к . (6.14)

Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и отрицательным (к < 0).

Наращенная сумма ренты находится как

а" - (1 + i)"

130

_ „о+*>-_<■+.г ₍₆₁₅₎

1\> I

ПРИМЕР 6.3. Несколько изменим условия примера 6.1. Пусть те­перь члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (/с = 0,12). В этом случае

(0,9У°

'-■Л2 А = 15 х _Q2_₀₁₂ = 93,448 млн руб.,

1,12¹⁰- 1,2¹⁰ S = 15 х — = 578,604 млн руб.

I, it ■" I ,^

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с тем­пом прироста минус 10% в год (к = -0,1), тогда

_<-(С

А = 15 х Q2-/-Q ц ⁼ 47,184 млн руб., S = 47,184 х 1,2¹⁰ - 292,151 млн руб.

Для годовых рент пренумерандо получим

/1 + к)"

(qv)" - 1 U ⁺ '>

А = *^W; . (1 + 0 = R 1 Н-(1 + 0. (6-16)

qv — 1 л — /

(ov)" ~ 1 V1 + ',

5 = R———(1 + 0^я = R т =-Hl + 0^я+|. (6.17)

qv — 1 Ас — /

Рента р-срочная с постоянными опюопельными изменениями членов. Пусть платежи производятся не один, а р раз в году пост-нумерандо, проценты начисляются раз в году по ставке /. В этом случае последовательность платежей представляет собой геомет­рическую прогрессию Я, Rq, ..., Rq"?"¹, где q — темп роста за пе­риод. Начислим проценты и суммируем результат, получим

_qnp - Л + /)^я

131

Для современной величины такой ренты находим

_Qnp_vn _ J

ПРИМЕР 6.4. Пусть Я = 15 млн руб., п = 10, / = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты постнумеран-до составят:

1.06²⁰- 1,2¹⁰ S = 15 х ₁ QQ , _{1 2}о,5 = 1263,052 млн руб.,

^Об^х 1,2"¹⁰- 1 А = 15 х ₁ QQ . ₁ 20,5 ⁼ 203,990 млн руб.

§6.3. Постоянная непрерывная рента

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксиро­ванные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем ино­гда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предполо­жение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при анализе сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Обсудим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости, а также некоторых параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту, при условии, что применяет­ся годовая дискретная процентная ставка. По определению у непрерывной ренты р -* ». Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его как а_п._г Для этого необходимо найти предел коэффициента приведения /ьсрочной ренты при р —* »:

а „., = lim а^\ = lim _f/l , _ч|/я —

Непосредственная подстановка р = » в знаменатель приво­дит к неопределенности:

132

1

оо [(1 + /)■/•- I]'

Раскроем неопределенность, применив правило Лопиталя. Получим

г~*р[(\ + l)^i/p- 1] 1п(1 + /)' Таким образом,

1 - (1 + /Г"

*«- |_П(1,₉ ■ <«°>

Аналогичным путем получим коэффициент наращения не­прерывной ренты

(1 + 0^я - 1

'*" и1 + о ' ^(62,)

Очевидно, что переход от дискретных платежей постнуме-рандо к непрерывным увеличивает коэффициенты приведения и наращения в / / 1п(1 +0 раз. Таким образом,

i #

"^л;/ " 1п(1 + 0 *^w;/' *«* " 1п(1 + 0 *^я;/ ■

ПРИМЕР 6.5. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторож­дения полезных ископаемых составят 1 млрд руб. в год, продол­жительность разработки 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохо­да при дисконтировании по ставке 10% составит:

1 - 1,1-м А = 1000—гт-j— = 6446,91 млн руб.

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) предполагают непрерыв­ное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса (поступление денег и наращение процентов) непре­рывны. Для получения формул соответствующих коэффициен­тов воспользуемся формулами эквивалентности между непре­рывными и дискретными ставками: 6 = 1п(1 + /); / = е^ь — 1, где,

133

напомним, 6 — сила роста. Перепишем формулы (6.20) и (6.21), использовав эти соотношения. Получим:

1 - _е-ъп

*** = ——' <⁶-²²>

^=—т~- ⁽⁶²³⁾

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) и (6.22), (6.23) дают оди­наковые результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными (см. § 4.2).

В табл. 5 и 8 Приложения содержатся значения коэффици­ентов наращения и приведения непрерывной ренты.

ПРИМЕР 6.6. Пусть в примере 6.5 дисконтирование осуществля­ется по силе роста 10%, тогда

~оТ

^{А = Rd}n,b ^{= 100}° ~< ⁼ 6321,21 млн руб.

Эквивалентная дискретной ставке 10% (которая была приме­нена в примере 6.5) сила роста составит 6 = 1п1,1 = 0,09531, или 9,531%. Откуда

А = 1000 51)9531 ^{= 6446}'^{91 млн руб}-

Формулы (6.22) и (6.23) можно получить и с помощью ин­тегрирования. Например, коэффициент приведения находим следующим образом:

о

I 6

,-6х/^ ' _л-6х/

\-е

-6х/|

Остановимся теперь на одном частном, но практически важ­ном вопросе. Определим величину коэффициента наращения непрерывной ренты для одного годового интервала времени. Обозначим коэффициент наращения р-срочной ренты для это­го интервала как 1_{. Его предел при р -* » составит

^S{ 1п(1 + /)'

134

Разложим эту функцию в степенной ряд, ограничившись первыми тремя членами:

1 1 ,

*,-i + 7''-7T^/2-

Близкий к этому результат дают и первые три члена разло­жения бинома:

(1 +/)'/>= l+i-z-i-Я. В итоге имеем

f, - (1 + /)"/2.

Аналогично находим коэффициент приведения непрерыв­ной ренты за годовой период:

а_х ~ (1 4- /)-'/2.

Иначе говоря, равномерная и непрерывная выплата годовой суммы Р примерно равнозначна разовой выплате этой суммы в се­редине года,

Определение срока и размера ставки для постоянных непре­рывных рент. Начнем с определения срока для случая, когда ис­ходной является современная стоимость данного потока плате­жей. Решим (6.20) относительно п , принимая во внимание, что А = Ra_n;i:

п = ^Х—_ь '-. (6.24)

Аналогично для случая, когда исходной является наращен­ная сумма ренты, получим:

1п(|б₊1 п ^— -. (6.25)

135

ПРИМЕР 6.7. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%. Здесь S/R = 5, 6 = 0,08, отсюда согласно (6.25)

Ш(5х 0,08 + 1) _лг%4

^п = 7Г^ = 4»^{21 г}°Д^а-

0,08

Что касается определения силы роста по всем остальным за­данным параметрам ренты, то здесь возникают те же затрудне­ния, с которыми мы встретились при решении аналогичной зада­чи для дискретной ренты. Наиболее простым выходом является интерполяция и метод Ньютона—Рафсона. С помощью метода Ньютона—Рафсона получим следующую рекуррентную¹ формулу:

\-е * о_к

R

ПРИМЕР 6.8. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста, если затрачено 1000 млн руб., годовая отдача ожи­дается в размере 200 млн руб., посупающих равномерно в пре­делах года, срок отдачи — 8 лет.

Применим формулу (6.26). Пусть начальное значение 6₀ = 0,12, тогда

1 -в"⁰-¹²*⁸- 5 х0,12 ⁶1⁼⁰'¹²- _8в-о,12х8.-5 ⁼⁰'¹²⁸⁸'

Проверка: <*_{8;12 88} = 4,992. Очевидно, нет необходимости в сле­дующей итерации.