1 См. Математическое приложение к главе. 64

Математическое приложение к главе

Доказательство формулы (3.31)

fba'dt

Определим степень множителя наращения q « e°

ГЬа'Ш «6 — i \na

о I Ina Inaj lna\ I

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997.

2. Четыркин ЕМ., Васильева Н. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 2.

3. Бирман Г., Шмидт С. Экономический анализ производственных инвестиций. М.: ЮНИТИ, 1997. Гл. 2.

4. Cartiedge Я. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 4

ПРОИЗВОДНЫЕ

ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ.

КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ

§4.1. Средние процентные ставки

Если в финансовой операции размер процентной ставки из­меняется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней. Замена всех усредняемых значений ставок на среднюю процентную ставку по определению не изменяет резуль-татов наращения или дисконтирования.

Начнем с простых ставок. Пусть за последовательные пери­оды л,, л₂,..., п_к начисляются простые проценты по ставкам /,, /₂,..., i_k. Искомые средние получим посредством приравнива­ния соответствующих множителей наращения друг к другу:

1 + N7= 1+2/1,/,.

Откуда

2/1,/, ''—JT' ^(4л)

где N = Z/i, — общий срок наращения процентов.

Найденный показатель представляет собой среднюю ариф­метическую взвешенную с весами, равными продолжительно­сти отдельных периодов.

Аналогичным способом определим среднюю учетную ставку:

2лД

ПРИМЕР 4.1. Контракт предусматривает переменную по перио­дам ставку простых процентов: 20, 22 и 25 %. Продолжительность последовательных периодов начисления процентов: два, три и пять месяцев. Какой размер ставки приведет к аналогичному на­ращению исходной суммы? Находим среднюю ставку:

66

- 0,2 х 2 + 0,22 х 3 + 0,25 х 5

/ = — =0,231, или 23,1%.

Если усредняются сложные переменные во времени ставки сложных процентов, то из равенства множителей наращения

(IWf-lw/.NiwJt'...

следует

/.ф₊/₁)^Л,(1 ₊ /₂)^Л2...-1. (4.3)

Средняя в этом случае вычисляется как взвешенная средняя геометрическая.

ПРИМЕР 4.2. Допустим, для первых двух лет ссуды применяется ставка, равная 15%, для следующих трех лет она составляет 20%. Средняя ставка за весь срок ссуды равна

/-Vl,15²x1,2³ -1-0,17974 или 17,974%.

Рассмотрим теперь усреднение ставок, применяемых в не­скольких однородных операциях, которые различаются сумма­ми ссуд и процентными ставками. Искомые средние ставки на­ходим из условия равенства соответствующих сумм после нара­щения процентов. Так, если применяются простые ставки и сроки этих операций одинаковы (я), то из равенства

следует

5>,(1 +л/) = 2/>,(1 + */,)

Т- (4.4)

Как видим, весами здесь являются суммы ссуд.

Перейдем к усреднению сложных ставок для однородных ссудных операций. Пусть сроки операций одинаковы (п). Из равенства соответствующих множителей наращения следует

67

Формулы (4.4) и (4.5) получены для частных случаев, когда сроки ссуд одинаковы. В общих случаях они, разумеется, не ра­ботают. Однако решение соответствующих задач возможно, но более сложным путем.