- •Оглавление
- •§1.2. Время как фактор в финансовых расчетах
- •§1.3. Проценты, виды процентных ставок
- •Глава 2
- •1. Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365):
- •2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365):
- •3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссу ды (360/360):
- •§ 2.2. Погашение задолженности частями
- •§2.3. Наращение процентов в потребительском кредите
- •§2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке
- •§2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам
- •Дисконтные множители, I - d » 20%
- •§2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки
- •§ 2.7. Конверсия валюты и наращение процентов
- •Глава 3 сложные проценты
- •§3.1. Начисление сложных годовых процентов
- •1 См.: Томас д. Воротилы финансового мира. М.: Прогресс, 1976.
- •§3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам
- •§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
- •§3.4. Дисконтирование по сложной ставке
- •§3.5. Операции со сложной учетной ставкой
- •§3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения
- •§3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки
- •§3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты
- •1 См. Математическое приложение к главе. 64
- •Глава 4
- •(IWf-lw/.NiwJt'...
- •§4.2. Эквивалентность процентных ставок
- •360 Х 0,4 лолло|г ллЛо«,п,
- •§4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей
- •§4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта
- •§4.5. Налоги и инфляция
- •1 Доказательство (4.38) см. В Математическом приложении к главе. 82
- •1 См. Математическое приложение к главе.
- •§4.6. Кривые доходности
- •1 В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.
- •1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению
- •2. Докажем формулу (4.41):
- •Глава 5
- •§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры
- •1 В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.
- •1 Июля 1 января 2000 г. 2001 г.
- •1 Января 1 января 2003 г. 2004 г.
- •§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо
- •§5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо
- •§5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо
- •§5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент
- •1 |П 1,2 ' oiUMct.
- •Глава 6
- •1 Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126
- •§6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей
- •§6.3. Постоянная непрерывная рента
- •§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей
- •1 Доказательство см. В Математическом приложении к главе.
- •§6.5. Конверсии рент
- •§6.6. Изменение параметров рент
- •Глава 7
- •§7.2. Нелинейные модели
- •§7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе
- •§7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки
- •§7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определению
- •Глава 8 риск и диверсификация
- •§8.1 Риск
- •§8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода
- •1 Напомним следующие свойства коэффициента корреляции:
- •1 В странах со стабильной экономикой безрисковой обычно считается ценная бумага, выпущенная государственным казначейством.
- •§8.3. Минимизация дисперсии дохода
- •Глава 9
- •§9.1. Расходы по обслуживанию долга
- •§9.2. Создание погасительного фонда
- •22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
- •§9.3. Погашение долга в рассрочку
- •§9.4. Льготные займы и кредиты
- •§9.5. Реструктурирование займа
- •§9.6. Ипотечные ссуды
- •§9.7. Расчеты по ипотечным ссудам
- •Глава 10 измерение доходности
- •§10.1. Полная доходность
- •§10.2. Уравнение эквивалентности
- •§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных
- •§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов
- •§10.5. Долгосрочные ссуды
- •§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)
- •Дополнительная литература
- •Глава 11 облигации
- •§11.1. Виды облигаций и их рейтинг
- •§11.2. Измерение доходности облигаций
- •§11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций
- •§11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска
- •§11.5. Оценивание займов и облигаций
- •Глава 12
- •§12.2. Чистый приведенный доход
- •§12.3. Свойства чистого приведенного дохода
- •§12.4. Внутренняя норма доходности
- •1 В сопровождающем программу тексте этот показатель ошибочно назван "скоростью оборота".
- •2 Для определения внутренней нормы доходности применяется итерацион ный процесс, поэтому желательно указать некоторое ориентировочное началь ное значение ставки.
- •§12.5. Срок окупаемости
- •§12.6. Индекс доходности
- •§12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности
- •§12.8. Сравнение результатов оценки эффективности
- •§12.9. Моделирование инвестиционного процесса
- •§12.10. Анализ отзывчивости
- •Математическое приложение к главе
- •Глава 13 лизинг
- •§13Л. Финансовый и оперативный лизинг
- •§13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту
- •Периодические платежи по лизингу
- •§13.3. Методы расчета лизинговых платежей
- •1. Платежи постнумерандо
- •2. Платежи пренумерандо
- •Глава 14 форфейтная операция
- •§14.1. Сущность операции а форфэ
- •§14.2. Анализ позиции продавца
- •§14.3. Анализ позиций покупателя и банка
- •Глава 15 коротко об опционах
- •§15.1. Сущность опциона, основные понятия
- •§15.2. Цена опциона
- •§15.3. Модель Блека—Шоулза
- •Глава 16 страховые аннуитеты
- •§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
- •§16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности
- •1 Во всех примерах данного параграфа используется таблица смертности населения ссср 1984—1985 гг.
- •§16.3. Коммутационные функции
- •Фрагмент таблицы коммутационных чисел1
- •§16.4. Стоимость страхового аннуитета
- •20|Лзо:51 Озо уЗю.З V.Oowo.
- •Глава 17 личное страхование
- •§17.1. Нетто-премии в личном страховании
- •1 Значения коммутационных чисел, приведенные в примерах, взяты из табл. 12 Приложения.
- •§17.2. Страхование жизни
- •§17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем
- •§17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы
- •40 60 75 " Возраст
- •§17.5. Страховые пенсионные схемы
- •Расчет размера пенсии
- •§17.6. Страховые резервы в личном страховании
- •82 461 1 Ю iPso '
- •Коммерческий отдел — тел. 433-2510, 433-2502
- •Internet: http://www.Deio.Ane.Ru
- •Isbn 5-77494)193-9
Глава 16 страховые аннуитеты
§16.1. Финансовая эквивалентность в страховании
В преобладающем числе областей финансовой деятельности объектами приложения методов количественного анализа являются детерминированные процессы, описываемые верными рентами. Однако в страховании и при анализе некоторых инвестиционных проектов возникает необходимость в использовании условных рент (contingent annuity), в которых важную роль играют вероятности наступления соответствующих событий (поступлений или выплат денег). Обсудим методы работы с такими рентами, причем для конкретности ограничимся страхованием. Выплата члена ренты в страховании зависит от наступления страхового события. Назовем такие ренты страховыми аннуитетами. Заранее число платежей в страховых аннуитетах, а часто и их срок, остаются неизвестными.
Согласно договору страхования страхователь уплачивает вперед страховщику некоторую сумму — премию {premium). В свою очередь он (или иной выгодоприобретатель) имеет право получить страховую сумму S после наступления страхового события. Если вероятность наступления этого события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов (в том числе и фактора времени), премия Р определяется как
P=Sq.
Приведенное равенство лишь иллюстрирует принцип финансовой эквивалентности обязательств страхователя и страховщика. Покажем в общем виде, как реализуется этот принцип при расчете страховой нетто-премии, под которой понимается теоретическая цена страхования.
331
На практике премия, которая поступает страховой организации, обычно превышает величину нетто-премии, так как включает помимо нетто-премии и так называемую нагрузку (loading), последняя охватывает все расходы по ведению дела и некоторую прибыль страховой организации. Определение брутто-пре-мии (нетто-премия плюс нагрузка) является чисто арифметической задачей, поэтому далее речь пойдет только о нетто-премии.
Пусть Р — размер премии, qn — вероятность страхового события (например, смерть застрахованного через п лет после начала страхования). Если страховое событие произойдет на первом году страхования, то страховщик получит сумму Р (пусть премия выплачивается в начале года), если же это событие наступит во втором году, то сумма премий равна 2Р и т.д. Математическое ожидание такого ряда премий составит:
Pq{ + 2Pq2 + ... + nPqn.
Полученная величина хотя и обобщает все взносы застрахованного с учетом вероятностей их выплат, однако при суммировании соответствующих величин не принимается во внимание, что премии выплачиваются в разные моменты времени. С учетом этого фактора (с помощью дисконтирования сумм платежей) находим математическое ожидание современной стоимости (актуарная стоимость) взносов:
Е(А) = P[qx + (1 + v)q2 + (1 + v + v2)^ + ... +
+ (1 + v + ... + v"-Xb
где v — дисконтный множитель по ставке /.
Обратимся теперь к выплате страховой суммы. Положим, что она выплачивается в конце года, в котором имел место страховой случай. Тогда математическое ожидание выплаты в первом году составит Sqv во втором году Sq2 и т.д. Математическое ожидание с учетом фактора времени (актуарная стоимость) выплат, очевидно, можно определить как
E(S) = S(vqx + v2^ + ... + V^).
Исходя из принципа эквивалентности обязательств страховщика и страхователя, теперь можно написать равенство
332
E(S) = E(A),
которое позволяет найти искомое значение нетто-премии Р. Таков в общем виде теоретический подход к методу расчета нетто-премии, принятый в личном страховании.
Пусть теперь речь идет об имущественном страховании. Если можно полагать, что вероятности наступления страхового случая постоянны, то актуарная стоимость премий за п лет составит
Е(А) = P[q + (1 + v)q + ... + (1 + v + ... + V^x)q] = PqK,
где К -ai+]?(ai-/)v'.
В свою очередь актуарная стоимость выплат страховых сумм находится как
£(5)-512*
Из равенства актуарных стоимостей взносов и выплат находим искомый размер нетто-премии.
В практике страховых, или как их часто называют, актуарных расчетов разработаны специальные приемы формирования упомянутых выше потоков платежей (страховых аннуитетов) и расчета их актуарных стоимостей.
До обсуждения проблем формирования страховых аннуитетов, связанных с жизнью людей {life annuity) и их использования для расчетов премий и страховых резервов необходимо ознакомиться с методикой определения необходимых вероятностей и ряда вспомогательных величин, с помощью которых существенно упрощается решение соответствующих задач. Речь пойдет о таблицах смертности и коммутационных функциях.