Вопрос 10.4*. Вычислите, как в процентах выражается отноше- ние дробной части к полной стандартной квоте для стандартных квот штатов Делавэра и Мэриленда, которые вы нашли в вопросе 10.3.

Вопрос 10.5. (а) У какой из стандартных квот, которые вы вы- числяли в вопросе 10.3 для 15 штатов, процентное выражение отноше- ния дробной части к полному значению наибольшее? У какой квоты оно наименьшее?

(б) Как вы думаете, с учетом вашего ответа на пункт (а), какой штат оказался в наилучшем, а какой в наихудшем положении при рас- пределении из вопроса 10.3?

И в вопросе 10.3, и в вопросе 10.5 мы рассматривали дробные ча- сти квот, чтобы решить, сколько мест выделяется штатам по методу Гамильтона. Но, как вы догадываетесь, существуют и другие методы. Например, для каждого штата мы можем рассмотреть среднее число граждан, представленных каждым представителем штата.

Вопрос ю.6*. В распределении из вопроса 10.3 найдите среднее число граждан, представленных каждым представителем Делавэра. Затем проделайте те же вычисления для остальных 14 штатов.

Вопрос 10.7. Какой штат, согласно вычислениям вопроса ю.6, оказался в наилучшем положении при распределении из вопроса 10.3? а какой штат оказался в наихудшем положении?

Так что же делать с бедным штатом Делавэр? Ведь это был первый штат. Но тем не менее это действительно сложно — выделить Делавэру два места, а не одно, поскольку...

Вопрос ю.8. Повторите вопрос ю.6, но в этот раз предположите, что у Делавэра два представителя, а не один. Каким теперь оказалось положение Делавэра по сравнению с другими штатами?

А что можно сказать про Род-Айленд? Заслуживает ли он того, чтобы его положение было лучше, чем у других штатов? Давайте по- смотрим, что произойдет с результатом вычислений из вопроса ю.6, если мы отнимем у Род-Айленда одно место? Конечно же, чтобы со- хранить общее число представителей равным 105, нам придется от- дать это лишнее место какому-нибудь другому штату. Поскольку на- селение Вирджинии гораздо больше, чем население всех остальных штатов, результат вычислений вопроса ю.6 для этого штата изменит- ся меньше всего, если мы отдадим лишний голос ему. Так и сделаем и посмотрим, что из этого выйдет.

Вопрос 10.9*. Повторите вопрос ю.6, но теперь предположите, что у Род Айленда только один представитель, а не два, а у Вирджинии 21 представитель вместо 20. (Замечание. Вычисления из вопроса ю.6 изменятся только для штатов Род-Айленд и Вирджиния.) Каким те- перь оказывается положение этих штатов по сравнению с другими? Объясните ваш ответ.

Как вы думаете, улучшили ли мы систему, забрав одно место у Род Айленда и отдав его у Вирджинии? Что ж, Джордж Вашингтон и Томас Джефферсон положительно ответили на этот вопрос, и не только по- тому, что были родом из Вирджинии.

Метод распределения Джефферсона

Когда Вашингтон наложил вето на билль, одобряющий метод Га- мильтона для распределения в 1794 г., в конгрессе не набралось до- статочного для преодоления вето количества голосов. Поэтому был принят билль, одобряющий метод распределения, предложенный То- масом Джефферсоном.

Метод Джефферсона представляет собой пример метода дели- телей. Чтобы понять, что это значит, рассмотрим еще раз, как мы вычисляли стандартные квоты. Например, если нужно распределить 105 мест, а численность населения выражается числами из табл. юл, то для Коннектикута стандартная квота равна

²₀³⁷⁶f⁵ х 105 = 6,408, 3893874 '

а для Делавэра стандартная квота равна

59096

Заметим, что наборы данных для вычислений этих двух стандарт- ных квот почти одинаковы; отличаются численности населения шта-

тов (числители дробей в левых частях равенств). Собственно говоря, стандартные квоты остальных штатов можно вычислить точно так- же — разделив численность населения штата на з 893 874 (общее насе- ление страны), а затем умножив результат на 105 (общее число мест). Единственная величина, которая при вычислениях будет меняться от штата к штату— это население. Поэтому для вычисления стандартной квоты используется формула немного другого вида, но математиче- ски эквивалентная первой. Например, стандартная квота для Коннек- тикута вычисляется как

а для Делавэра как

237655

3893874 105

59 096 3893874

= 6,408,

1,594-

ю5

Если записывать вычисления таким образом, разбираться в них становится немного сложнее. Но эта форма записи тоже полезна, по-

3893874 г

скольку позволяет подчеркнуть роль знаменателя —^— (он равен

37084,51) при вычислении стандартных квот штатов. Эта величина называется стандартным делителем системы, и полностью опреде- ляется общей численностью населения в системе и числом распреде- ляемых мест. Заметьте, что величина стандартного делителя зависит не от численности населения любого отдельно взятого штата, а от об- щей численности населения всех штатов. Более того, как только стан- дартный делитель системы найден, стандартную квоту каждого штата в системе можно найти, разделив численность населения штата на стандартный делитель.

Вопрос ю.ю. Для распределения в вопросе 10.3 найдите ос- тальные стандартные квоты системы, используя стандартный дели- тель системы.

Метод Джефферсона называется методом делителя, поскольку со- гласно этому методу стандартный делитель изменяют до тех пор, пока вычисленные стандартные квоты, округляемые по некоторому обыч- ному правилу, не приведут к правильному числу мест. Особенности метода Джефферсона описаны ниже.

Первый шаг Джефферсона. Вычислите стандартную квоту для каж- дого штата.

Второй шаг Джефферсона. Округлите каждую стандартную квоту до ближайшего меньшего целого числа, и проверьте, равна ли сумма округленных квот числу распределяемых мест. Если да, то процедура завершена, если же нет, то перейдите к третьему шагу.

Третий шаг Джефферсона. Выберите делитель, отличный от пер- воначально вычисленного стандартного делителя, и используйте этот новый делитель (или модифицированный делитель) для вы- числения модифицированных стандартных квот всех штатов. (Чтобы сделать это, просто разделите численность населения каждого штата на модифицированный делитель.)

Четвертый шаг Джефферсона. Округлите каждую из модифициро- ванных квот до ближайшего меньшего целого числа и проверьте, равна ли сумма округленных квот числу распределяемых мест. Ес- ли да, то процедура завершена. В противном случае повторяйте третий и четвертый шаги (с другими модифицированными дели- телями), пока процедура не завершится.

Заметьте, что третий и четвертый шаги включают последова- тельность проб и ошибок. Поэтому может случиться так, что для реализации метода Джефферсона требуется значительно больше вре- мени, чем для метода Гамильтона. Но у метода Джефферсона по крайней мере есть одно явное преимущество — в соответствии с ним все квоты округляются по одному общему правилу. Метод Гамиль- тона в этом смысле ведет себя по-другому: в некоторых случаях определенная дробная часть может быть округлена с увеличением, а в других случаях та же самая дробная часть может быть округлена с уменьшением. По-видимому, именно постоянство соглашения об округлении, присущее методу Джефферсона, и заставило Вашингтона и Джефферсона считать, что этот метод справедливее, чем метод Гамильтона.

Вопрос io.ii*. (а) Используйте метод Джефферсона для распре- деления ю5 мест между 15 штатами, перечисленными в табл. юл. За- пишите распределения, к которым приводят все испробованные вами делители, включая те, для которых сумма мест не равна ровно 105.

(б) Какие штаты при распределении из пункта (а) оказываются в лучшем положении? Какие — в худшем?

Несмотря на бесспорный факт, что метод Гамильтона гораздо лег- че в использовании, чем метод Джефферсона, в 1794 г. при распре- делении мест в палате был использован именно метод Джефферсо- на (хотя, как мы уже говорили, данные о численности населения, ис-

пользованные в 1794 г., несколько отличались от тех, что приведены в табл. юл). Если вы справились с вопросом ю.ы без ошибок, то убе- дились, что распределение, полученное по методу Джефферсона, от- личается от распределения по методу Гамильтона (полученного в во- просе 10.3), но только в том, что в соответствии с методом Джеффер- сона Род-Айленд теряет одно место, которое переходит к Вирджинии. Итак, мы видим, что хотя оба метода могут приводить к одинаковому распределению мест для одной и той же системы, но так бывает не всегда. И действительно, в 1974 г. использовались данные, немного от- личающиеся от рассмотренных нами, поэтому на самом деле по мето- ду Гамильтона вторые места были выделены Делавэру и Род-Айленду, а согласно методу Джефферсона в пользу Вирджинии свое место терял Делавэр, а Род Айленд сохранял оба своих места.

Важно заметить, что в обоих случаях —и для распределения из вопроса io.ii, и для того, которое в действительности имело место в 1794 г., если сравнивать с результатом распределения по методу Гамильтона для той же системы, в пользу большого штата терял свое место малый штат. При использовании метода Джефферсона это явление возникает довольно регулярно, и следующие вопросы показывают, почему так происходит.

Вопрос ю.12. Объясните, почему на втором шаге метода Джеф- ферсона всегда назначается слишком мало мест, за исключением практически невозможного случая, когда первоначально вычислен- ные стандартные квоты системы — целые числа (без дробных частей).

Таким образом, после второго шага метода Джефферсона всегда нужно распределять еще несколько мест. Поэтому, по методу Джеф- ферсона, стандартный делитель всегда нужно уменьшать, посколь- ку при уменьшении стандартного делителя возрастают стандарт- ные квоты (так как вы делите на меньшее число). Но при уменьшении стандартного делителя большие стандартные квоты растут быстрее, чем меньшие. Например, обратите внимание, насколько выросли стандартные квоты Род Айленда и Вирджинии в вопросе ю.и по сравнению со своими первоначальными значениями. (Квота Вир- джинии должна была увеличиться намного сильнее, чем квота Рода Айленда.)

Поэтому у больших стандартных квот больше шансов превысить ближайшее большее целое число, когда стандартный делитель умень- шается. Таким образом, у штатов с большими стандартными квотами (и, следовательно, с большим населением) шансы получить дополни- тельные места при методе Джефферсона выше. В действительности

если у некоторого штата стандартная квота значительно выше, чем квоты остальных штатов, то может случиться так, что эта большая стандартная квота превысит два ближайших целых числа еще до того, как будут распределены все дополнительные места. Следующий во- прос иллюстрирует такое странное явление.

Вопрос 10.13. Согласно переписи населения в 1820 г. население штата Нью-Йорк составило 1368 775 человек, а население США в це- лом — 8 969 878 человек. На основе этих данных в 1822 г. нужно было распределить между штатами 213 мест в палате.

(а) Используя данные переписи 1820 г., вычислите стандартный делитель и стандартную квоту для Нью-Йорка.

(б) При распределении, имевшем место в 1822 г., использовался метод Джефферсона с модифицированным делителем 39 900. Найдите модифицированную стандартную квоту Нью-Йорка при этом моди- фицированном делителе и определите, сколько мест в итоге получил этот штат. Как вы думаете, справедливо ли было выделить столько мест Нью-Йорку? Почему?

Распределение 1822 г. вскрыло серьезный недостаток метода Джеф- ферсона, однако, к сожалению, ничего не было сделано, чтобы испра- вить его. Возможно, сочли, что эта проблема возникла случайно, что с таким аномальным поведением встречаться практически не при- дется, так что не стоит уделять этому внимание. Но в точности то же самое произошло при следующем распределении в 1832 г., когда согласно методу Джефферсона Нью-Йорк получил 40 мест в палате, хотя его стандартная квота была равна всего лишь 38,59-

В то время все-таки пришлось заняться этой проблемой. Многие были возмущены, и среди них —блестящий оратор Даниэль Уэбстер. В одном из своих самых знаменитых выступлений он со страстью убеждал конгресс, что выделение 40 мест Нью-Йорку—факт, не толь- ко вызывающий беспокойство, но по существу антиконституцион- ный.

После этого конгрессу были представлены два альтернативных метода. Один из них был предложен Джоном Куинси Адаме и очень напоминал метод Джефферсона. Только в отличие от последнего, на втором и четвертом шагах метода Адамса квоты округлялись до ближайшего большего, а не меньшего целого числа.

Вопрос 10.14*. (Ю Используйте метод Адамса, чтобы распреде- лить 105 мест между 15 штатами, перечисленными в табл. юл. Запи- шите распределения, соответствующие всем испробованным вами де- лителям, включая те, которые не дают требуемых 105 мест

(б) Какие штаты оказались в наилучшем, а какие в наихудшем положении при распределении, полученном вами в пункте (а)?