Еще больше проблем

Пример, с которым мы познакомились в вопросе-разминке 9.1, был интересным, но не настолько интересным, как мог бы. Если мы лишь чуть-чуть изменим ситуацию, то увидим, что на самом деле дела обстоят гораздо хуже, чем казалось на первый взгляд.

Вопрос 9.2. Рассмотрим еще раз референдум о парковке кмд из вопроса-разминки 9.1.

(а) Предположим, что и Дейв, и Майк убедили по десять своих друзей проголосовать в точности так же, как они сами. В предположе- нии, что предпочтения Пита не изменились, приведет ли появление этих новых 20 избирателей к изменению результатов референдума?

(б) Предположим, что и Дейв, и Майк убедили по сто своих дру- зей проголосовать в точности так же, как они сами, и по-прежнему предположим, что предпочтения Пита не изменились. Приведет ли появление этих новых 200 избирателей к изменению результатов ре- ферендума?

(в) Логан, президент математического клуба КМД, сделал следу- ющее заявление:

Даже если все 21397 студентов КМД примут участие в референ- думе о парковке, все равно может случиться так, что результат

референдума окажется наименее предпочтительным для всех про- голосовавших, кроме одного. Прав ли Логан? Приведите убедительные доводы или пример, под- тверждающий ваш ответ.

Вопрос 9.3. Стараясь улучшить условия жизни, Дейв, Майк и Пит сложились вместе и теперь готовы купить некоторые нужные вещи для их квартиры. Каждый из них предлагает купить что-нибудь одно: Дейв хочет новый не обжигающий гриль Джорджа Форемана, Майк хочет настольный футбол, а Пит — видеофон, чтобы болтать со сво- ей подружкой, которая учится в Испании, лицом к лицу (в каком-то смысле). Каждому из трех приятелей нравятся все эти вещи, но в глу- бине души они понимают, что даже в лучшем случае у них хватит денег только на две из них. Пит, вдохновленный своей до странно- сти важной ролью на референдуме по парковке, предложил решать вопрос о том, что же все-таки купить, снова с помощью референду- ма. Он призывает одновременно проголосовать по следующим трем предложениям, и принимать каждое из предложений тогда и только тогда, когда большинство голосующих поддержат его.

Предложение D. Приобрести не обжигающий гриль Джорджа Форемана.

Предложение М. Приобрести настольный футбол.

Предложение Р. Приобрести видеофон.

После того, как бюллетени были заполнены, три товарища попросили своего друга Эрика подвести итоги. Затаив дыхание, они ждали, когда вернется Эрик и объявит результат: прошли все три предложения!

(а) Приведите пример предпочтений для Дейва, Майка и Пита, которые привели бы к такому результату.

(б) Объясните, как могло случиться, что результат референдума оказался наименее предпочтительным для всех трех голосующих.

(в) Услыхав о тяжелой участи трех товарищей, Логан сделал еще одно обескураживающее заявление:

Результат референдума, в котором принимают участие сколь угодно много человек, может оказаться наименее предпочти- тельным для всех проголосовавших.

Прав ли Логан на этот раз? Приведите убедительные аргументы или пример, подтверждающий ваш ответ.

(г) Как вы думаете, что привело к таким странным ситуациям, какие мы видели в последних двух вопросах? Объясните.

₁