бесконечности, согласно закономерности, по которой образованы четыре верхних ряда.

Заметим, что в каждом ряду треугольника Паскаля на один эле- мент больше, чем в предыдущем. Заметим еще, что если мы перену- меруем ряды треугольника сверху вниз, начиная с нуля, а элементы в каждом ряду—слева направо, начиная с нуля, то тогда fc-й элемент

в п-м ряду равен в точности . И наконец, если мы запишем тре- угольник Паскаля, используя численные значения то верхние че- тыре ряда образуют треугольник, изображенный на рис. 7.2.

i

i i

12 1

i 3 3 i

Рис. 7.2. Треугольник Паскаля (четыре верхних ряда)

Вопрос 7.24. (а) Какое число стоит в начале и в конце каждого ряда треугольника Паскаля? Какое свойство (J^j позволяет вам сде- лать такой вывод?

(б) Объясните, каким образом всегда можно получить числа из любого ряда треугольника Паскаля, зная числа предыдущего ряда. (Подсказка. Возможно, вы захотите вернуться к вашему ответу на пункт (в) вопроса 7-23-)

Вопрос 7-25*. (ю Используйте ваши ответы на вопрос 7.24, что- бы записать четыре ряда треугольника Паскаля, расположенных ниже тех, что изображены на рисунке 7.2.

(б) Используйте ваш ответ на пункт (а), чтобы найти

^{(в) Предположим, вам нужно найти ^J. Как бы вы сделали это?}

Влиятельность Шепли—Шубика в Психозии

Теперь, освоившись с обозначениями и понятиями, введенными в предыдущих двух разделах, мы, наконец, готовы вычислить индек- сы Шепли—Шубика для избирателей в федеральной системе Психо- зии. Аналогично тому, как мы действовали при отыскании влиятель- ности Банцафа в Психозии, здесь мы тоже начнем с вычисления ин-

декса Шепли—Шубика для одного из сенаторов, которого мы опять обозначим S.

Вопрос 7.26*. (а) Предположим, что все избиратели в федераль- ной системе Психозии упорядочены таким образом, что S предше- ствуют ровно два других сенатора и три представителя. Можно ли назвать S ключевым избирателем для такого порядка?

(б) Предположим, что все избиратели в федеральной системе Психозии упорядочены таким образом, что S предшествуют ровно два других сенатора и четыре представителя. Можно ли назвать S ключевым избирателем для такого порядка?

(в) Сколькими способами можно выбрать шесть избирателей, предшествующих S в пункте (б)?

(г) Когда шесть избирателей, предшествующих S, выбраны, сколь- кими различными способами можно упорядочить этих избирателей?

(д) Когда шесть избирателей, предшествующих S, выбраны и упо- рядочены, сколько остается избирателей, следующих за S в упорядо- ченном списке всех избирателей системы?

(е) Сколькими способами могут быть упорядочены избиратели, следующие за S (из пункта (д))?

(ж) Учитывая ваши ответы на пункты (в)—(е), определите, сколь- кими способами могут быть упорядочены избиратели федеральной системы Психозии, если S предшествуют ровно два других сенатора и четыре представителя?

Вопрос 7.27*. (а) Опишите все различные типы упорядоченных списков избирателей в федеральной системе Психозии, в которых S — ключевой. (Подсказка. Эти типы распадаются на десять различных ка- тегорий, одна из которых определена в пункте (б) вопроса 7.26.)

(б) Подсчитайте, сколькими различными способами может быть сформирован каждый тип упорядоченных списков из пункта (а). (Под- сказка. Используйте тот же способ рассуждений, который вы исполь- зовали в вопросе 7-26.)

(в) Используя ответы на пункты (а) и (б), вычислите индекс Ше- пли—Шубика для S.

Вопрос 7.28. Используя тот же способ рассуждения, что и в во- просе 7.27, вычислите индекс Шепли—Шубика для отдельного пред- ставителя в федеральной системе Психозии. Затем сделайте то же са- мое для президента и вице-президента.

Вопрос 7.29. (а) Не кажется ли вам что-нибудь странным или необычным в индексе Шепли—Шубика для избирателей в федераль- ной системе Психозии? Объясните ваш ответ.

Вопросы для дальнейшей работы

147

(б) Сравните индексы Банцафа и Шепли—Шубика для избирате- лей в федеральной системе Психозии. Как вы думаете, всегда ли эти два индекса приводят к таким похожим результатам? Если да, объяс- ните, почему это так. В противном случае приведите пример системы, для которой значения этих двух индексов значимо различаются.

Вопрос 7.30. Напишите рассуждение на одну или две страницы, в котором сравниваются идеи Банцафа и идеи Шепли и Шубика о том, как распределяется влиятельность в избирательной системе. Включи- те в ваше рассуждение по крайней мере ответы на следующие вопро- сы:

• Как вы думаете, что более точно представляет распределение вли- ятельности в избирательной системе: индекс Банцафа или Шеп- ли—Шубика? Четко объясните, как вы рассуждали.

• Как вы думаете, индекс, который вы указали выше, будет наилуч- шим всегда, в большинстве случаев или только иногда? Объясни- те ваш ответ.

• Как вы думаете, кто играет более важную роль в избирательных системах типа да/нет: критические или ключевые избиратели? Объясните ваш ответ.