(а не просто список победителей), и это очень важно. Вспомним, например, что в предыдущей главе у нас были проблемы с опреде- лением полной ранжировки кандидатов на выборах при использова- нии последовательного попарного голосования. Тогда у нас возник- ла трудность, связанная со свойством, которое математики называют транзитивностью.

Говоря о транзитивности на выборах, имеют в виду, что если об- щество предпочитает некоторого кандидата А другому кандидату В, а В — третьему кандидату С, то общество должно предпочитать А кан- дидату С. Если это действительно имеет место для любой тройки кан- дидатов Л, В и С на выборах, то мы говорим, что итоговый обществен- ный порядок предпочтений транзитивен. Правда, следует напомнить, что в парадоксе Кондорсе (вопрос 3.4) происходит обратное; обще- ство предпочитает А кандидату В, В — кандидату С, и одновременно с этим С — кандидату А. Таким образом, парадокс Кондорсе дает при- мер нетранзитивного общественного порядка предпочтений.

Вопрос 4.11*. Предположим, что на выборах есть три кандидата X, У и Z. (а) Если вы знаете, что для общества X предпочтительнее Z, Z предпочтительнее У, и X предпочтительнее У, можете ли вы сделать вывод, что итоговый общественный порядок предпочтений окажется транзитивным? Объясните ваш ответ.

(б) Если вам известно только, что для общества X предпочтитель- нее У, a Z предпочтительнее X, то какими должны быть обществен- ные предпочтения относительно У и Z, чтобы итоговый порядок пред- почтений был транзитивен?

(в) Если в выборах примет участие четвертый кандидат, будет ли ваш ответ на пункт (а) прежним? Объясните ваш ответ.

Иногда, когда общественные порядки предпочтений нарушают условие транзитивности, мы говорим, что представленные общест- венные предпочтения цикличны. И вновь парадокс Кондорсе служит хорошим примером, иллюстрирующим суть этого термина. Если мы попытаемся сопоставить результаты каждого из попарных сравнений в примере из вопроса 3.4, общественный порядок предпочтений будет выглядеть примерно так:

АуВуСуАуВуСуАуВуСуАуВуСу...

I .апомним, что в каждом из попарных сравнений, которые приводят к такому необычному общественному порядку, соотношение голосов для победы —два к одному. Другими словами, для двух третей избира-

телей А предпочтительнее В, для двух третей — В предпочтительнее С, и для двух третей — С предпочтительнее А.

Вопрос 4.12*. Рассмотрите циклические общественные предпо- чтения, представленные выше.

(а) Почему избиратели могут реагировать негативно, если побе- дителем на выборах будет объявлен А? Почему они могут реагировать негативно, если победителем на выборах будет объявлен В? А что, если победит С?

(б) Используя ваш ответ на пункт (а), запишите убедительные до- воды, почему следует избегать избирательной системы, которая мо- жет приводить к циклическим общественным предпочтениям.

Учитывая сделанные выше замечания, с этого момента мы сузим круг изучаемых избирательных систем до тех, которые исключают циклические общественные предпочтения. Другими словами, мы бу- дем требовать, чтобы рассматриваемая избирательная система при- водила только к транзитивным порядкам общественных предпочте- ний. Кроме того, поскольку не стоит ожидать, что избирательная система может привести к чему-либо осмысленному, исходя из бес- смыслицы, мы будет требовать еще, чтобы предпочтения отдельных избирателей тоже были транзитивны. (В каждом из рассмотренных до сих пор примеров предпочтения отдельных избирателей были транзитивны.) При этих условиях мы можем формально определить избирательную систему следующим образом:

Определение 4-13. Избирательная система — это функция (т. е. процедура), которая на входе получает набор бюллетеней с тран- зитивными предпочтениями, а на выходе дает транзитивный обще- ственный порядок предпочтений.

Не имеет значения, что в определении 4.13 ничего не говорится о равных результатах, как в отдельных бюллетенях предпочтений, так и в общественных порядках предпочтений, к которым приводит избирательная система. Так, например, вполне приемлем бюллетень с предпочтениями вида А >- В & С >- D, а также общественный порядок предпочтений вида А у В « С « D. Таким образом, при соглашениях, принятых нами в гл. 3, даже последовательное попар- ное голосование можно рассматривать как избирательную систему в смысле определения 4.13.

Условия Эрроу

Теперь, когда мы точно определили, что мы понимаем под из- бирательной системой, мы готовы двигаться дальше и точно сфор-

мулировать условия, которым, по мнению Эрроу должна удовлетво- рять любая разумная избирательная система. Названия каждого из свойств — в точности те же, какие использовал Эрроу в своей книге «Social Choice and Individual Values» \ 1951 r.

Условие i — Универсальность. Избирательные системы не долж- ны накладывать никаких, кроме транзитивности, условий на то, как избиратели могут упорядочить кандидатов на выборах. В частности, системы не должны указывать, что некоторые порядки предпочтений приемлемы, в то время как другие — нет. Каждый возможный набор бюллетеней с транзитивными предпочтениями должен приводить к транзитивному общественному порядку предпочтений.

Условие 2 — Позитивное объединение индивидуальных значе- ний. Избирательные системы должны быть монотонны.

Условие з — Независимость от посторонних альтернатив. Из- бирательные системы должны удовлетворять критерию НПА.

Условие 4 — Полноправность граждан. Избирательные системы никаким образом не должны быть навязанными. Другими словами, на выборах не должно быть пары кандидатов, скажем, А и В, таких, что А оказывается впереди или на одном месте с В в итоговом обще- ственном порядке предпочтений, независимо от того, как проголосо- вали избиратели.

Условие 5 — Отсутствие диктатуры. Избирательная система не должна быть диктатурой. Иначе говоря, не должно быть избирателя v такого, что выполняется следующее условие: если для произвольной пары кандидатов А и В кандидат А для избирателя v предпочтитель- ней В, то общество тоже предпочтет А кандидату В.