что для избирательной системы с весом решение по запросу зависит не столько от того, сколько избирателей за него проголосовали, сколь- ко от того, какие это были избиратели. Этот факт приводит нас к сле- дующему определению.

Определение 6.5. Следующие понятии определены для всех из- бирательных систем с весом.

• Коалиция — это набор избирателей (возможно пустой) в избира- тельной системе с весом. В него может входить любое число из- бирателей—от нуля до всех.

• Вес коалиции — это сумма весов всех избирателей коалиции.

• Побеждающая коалиция— это коалиция, которая в одиночку мо- жет добиться принятия запроса. Иначе говоря, если все члены ко- алиции проголосуют за принятие запроса, то он будет принят, как бы ни голосовали другие избиратели (не входящие в коалицию).

• Проигрывающая коалиция — это коалиция, которая в одиночку не может добиться принятия запроса. Иначе говоря, даже если все чле^ны коалиции проголосуют за принятие запроса, он все равно может быть не принят.

• Минимальная выигрывающая коалиция — это выигрывающая ко- алиция, которая превратится в проигрывающую, если из нее уда- лить любого члена.

В нашем случае не имеет значения, что определение 6.5 сформу- лировано для избирательных систем с весом. Понятия побеждающей и проигрывающей коалиций могут применяться и в рамках избира- тельных систем типа да/нет. На самом деле, если бы мы собирались интересоваться только избирательными системами с весом, мы могли бы определить побеждающую коалицию как коалицию, вес которой больше или равен квоте системы. Такая формулировка, очевидно, бо- лее точна, но вместе с тем в некоторой мере ограничивает нас. На- ше более общее определение позволит нам говорить о побеждающих и проигрывающих коалициях, даже если мы рассматриваем системы типа да/нет без веса.

Вопрос 6.6*. Для каждого из пунктов вопроса 6.4 перечислите все побеждающие коалиции, минимальные побеждающие коалиции и проигрывающие коалиции.

Вопрос 6.7. Предположим, что квота из пункта (в) вопроса 6.4 была бы равна не 105, а 150. Повлияло ли бы это изменение на состав каких-нибудь побеждающих или минимальных побеждающих коали- ций для системы? Объясните ваш ответ.

Вопрос 6.7 показывает, что в некоторых случаях для двух разных избирательных систем с весом побеждающие коалиции могут быть одинаковыми. В подобных обстоятельствах естественно сказать, что две рассматриваемые системы, в сущности, одинаковы, или, исполь- зуя любимое слово математиков, изоморфны \

Определение 6.8. Две избирательные системы с весом называ- ются изоморфными, если у них одинаковые побеждающие коалиции.

Следующий вопрос поможет вам лучше понять идею изоморфиз- ма. В нем, как и далее до конца этой главы, мы используем обозначе- ние [q : м/,, w₂₉w_n] для избирательной системы с весами w„ w₂, ...,w_n и квотой q. (Так, например, чтобы описать систему из пунк- та (в) вопроса 6.4, мы будем писать [105 : 101, 97,2].)

Вопрос 6.9*. Для каждой из следующих избирательных систем с весом перечислите все побеждающие коалиции. Затем решите, ка- кие системы изоморфны.

(а) [4 : 2, 2, i];

(б) [4 : 3, 2, т];

(в) [5 : 3, 2, i];

(г) [5:3, 2, 2]; (Д) [5 : 3, 3, 2].

Диктаторы, пустышки и право вето

¹ Прислушайтесь к доброму совету: по мере того, как вы все больше осваиваетесь с математическим языком, у вас может возникнуть соблазн использовать словечки ироде этого в повседневных разговорах. Например, вы болтаете о двух сестренках из университетского женского клуба, о двух совершенно одинаковых близняшках: «Как, мы говорили о Джулии? А я-то думал, что вы говорили о Мишель! Что ж, они все равно и юморфны! (Ха-ха-ха!)». Знайте, что хотя ваши склонные к математике друзья скорее того посмеются над этим, другие, менее просвещенные, могут не оценить вашего нового чувства юмора.

Теперь, когда мы формализовали идеи коалиций и изоморфизма, давайте в последний раз вернемся к вопросу 6.4. Возможно, вы заме- гили, что в пункте (а) этого вопроса Дуг был диктатором в том смыс- ле, что конечный результат голосования всегда должен был совпадать с тем, за что он голосовал. Если посмотреть на это по-другому, Дуг был диктатором, поскольку он входил во все побеждающие коалиции, и не входил ни в одну из проигрывающих. А в пункте (б) у Дуга бы- ло немного меньше власти. Хотя он по-прежнему в одиночку мог от- клонить принятие запроса, у него было недостаточно власти, чтобы

в одиночку добиться принятия запроса. В этой ситуации мы будем говорить, что у Дуга было право вето.

В пункте (в) влияние Дуга еще меньше; хотя у Дуга с Николасом разные веса, оба они одинаково влиятельны. Кроме того, бедная Эли- забет не имеет никакого влияния, у нее нет возможности как-либо повлиять на результат, как бы она ни голосовала. В этой ситуации мы будем называть Элизабет пустышкой, хотя это и не самый удачный термин. Заметьте, что мы используем его не для того, чтобы оскор- бить Элизабет или принизить ее умственные способности, а только для того, чтобы отметить, что она не играет сколь-нибудь значитель- ной роли в избирательной системе.

Точно так же, как мы использовали понятия побеждающих и про- игрывающих коалиций для того, чтобы объяснить, что в пункте (а) вопроса 6.4 Дуг действует как диктатор, мы можем использовать эти же понятия, чтобы точно определить, что такое право вето и избира- тели-пустышки.

Определение б.ю. Следующие понятия определены для всех из- бирательных систем типа да/нет.

• Избиратель, входящий во все побеждающие коалиции, и не вхо- дящий ни в какую из проигрывающих коалиций, называется дик- татором.

• Говорят, что избиратель, входящий во все побеждающие коали- ции, обладает правом вето.

• Избиратель, который не входит ни в одну из минимальных побеж- дающих коалиций, называется пустышкой. Иначе говоря, пус- тышка—это избиратель, которого можно удалить из любой по- беждающей коалиции, после чего она все равно не превратится в проигрывающую.

Вопрос б.ы*. Используйте определение б.ю, чтобы выяснить, кто из избирателей является диктатором, кто пустышкой, а кто об- ладает правом вето для каждой из избирательных систем с весом вопроса 6.4.

Вопрос 6.12. (а) Обладает ли любой диктатор правом вето? Яв- ляется ли диктатором любой избиратель, обладающий правом вето? Приведите убедительные аргументы или пример, подтверждающие каждый из ваших ответов.

(б) Может ли в избирательной системе с весом быть более одного диктатора? Может ли в избирательной системе с весом быть более од- ного избирателя, обладающего правом вето? Приведите убедительные аргументы или пример, подтверждающие каждый из ваших ответов.