Ответы на вопросы
7.3. (а) Перечислим побеждающие коалиции: {Дуг, Николас}, {Дуг, Элизабет} и {Дуг, Николас, Элизабет}.
(б) Дуг —критический избиратель во всех трех побеждающих ко- алициях. Николас и Элизабет —критические избиратели только в од- ной побеждающей коалиции.
(в) Влиятельность Банцафа для Дуга равна 3, а для Николаса и Элизабет—i. Общая влиятельность Банцафа для системы равна 5.
(г) Индекс Банцафа для Дуга равен 3/5, а индексы Банцафа для Николаса и Элизабет —1/5.
7.7. (а) Этот вопрос гораздо проще, чем кажется на первый взгляд. Рассмотрите различные коалиции, в которые входят по два крупней- ших района из трех и не входят наименьшие, и выясните, чему равны веса этих коалиций. Затем рассмотрите коалиции, в которые входят
Ответы на вопросы
151
по одному крупнейшему району и все три наименьших, и выясните, чему равны веса этих коалиций.
(б) Всего в этой системе существует 32 побеждающие коалиции. В з из этих коалиций входят два члена, в го — три, в 12 — четыре, в 6 — пять, и в одну —шесть членов.
(в) Во все побеждающие коалиции этой системы входят всего 48 критических избирателей.
(г) В соответствии с вашими ответами на пункты (а) и (в), прежде чем вы приступите к пункту (г), вы должны выяснить, чему равны влиятельности и индексы Банцафа для каждого из шести районов.
7.8. (а) Всего в этой системе существует 23 побеждающие коали- ции. В 5 из этих коалиций входят три члена, в п — четыре члена, в 6 — пять членов и в одну—шесть членов. Во все побеждающие коалиции лтой системы входят всего 52 критических избирателя.
(б) В системе 1994 г. Хемпстед №2 обладает ровно 25% влиятель- ности, а Глен-Коув —1,92 % влиятельности.
7.10. (а) Есть шесть способов упорядочить Дуга, Николаса и Эли- забет. Если обозначить их по первой букве имени, то эти шесть спо- собов выглядят так: DNE, DEN, NDE, NED, EDN и END.
(б) Дуг —ключевой избиратель в четырех упорядоченных спис- ках. Николас и Элизабет—ключевые избиратели в одном упорядо- ченном списке каждый.
(в) Индекс Шепли—Шубика для Дуга равен 4/6, а индекс Шепли— Шубика для Николас и Элизабет равен 1/6.
7.13. (а) Для двух избирателей есть только два возможных упоря- доченных списка.
(б) Для трех избирателей есть шесть возможных упорядоченных списков.
(в) Для трех избирателей есть двадцать четыре упорядоченных списка. Каждый из них может быть получен, если размещать четвер- того избирателя в один из шести списков из пункта (б).
(г) Для пяти избирателей есть 5 х 24 = 120 возможных упорядо- ченных списков.
(д) Для п избирателей есть п х (п -1) х (п - 2) х... х 2 х i возможных упорядоченных списков.
7.14. (а) Ойстер-Бей будет ключевым.
(б) Ойстер-Бей будет ключевым вне зависимости от того, где в упо- рядоченном списке будут располагаться три наименьших района.
(в) Есть 20 различных упорядоченных списков, совместимых с каждым из двух порядков. Если вы сократите названия районов, то сможете выписать их все.
(г) Ответ
на пункт (в) не изменится, даже если
предположить flpyJ
гой
порядок трех наименьших районов.
(д) Существует
шесть различных способов упорядочить
три наи-|
меньших района.
(е) Для
каждого порядка трех наименьших районов
существует^
2о упорядоченных списков
всех шести районов, в которых три
круп-
нейших района расположены в
порядке, указанном в пункте (а) По-
скольку
возможных способов упорядочить три
наименьших района|
существует шесть,
должно быть 6
х
20
= 120 упорядоченных списков^
всех шести
районов, в которых сохраняется порядок
трех наибольших!
районов, указанный
в пункте (а).
(ж) Если
предположить другой порядок трех
крупнейших райо-j
нов,
то ключевым может стать другой район.
За этим исключением
все остальные
вычисления из пунктов (а)—(е) остаются
прежними.
(з) Индексы
Шепли—Шубика для районов должны быть
теми же,
что и индексы Банцафа, которые
вы нашли в пункте (г) вопроса 7.7. 4
7.15. (а)
Существует 3 различных способа, чтобы
выбрать коали-
цию, состоящую из S
и
двух других сенаторов.
(б) Существует
ю различных способов, чтобы выбрать
коалицию,
состоящую из трех
представителей.
(в) Для
каждого из трех различных способов
выбрать S
и
двух,
других сенаторов, имеется го
способов выбрать трех представителей.
Итак,
есть 3 х
го
= 30 различных способов выбрать
коалицию,
состоящую из S,
двух других сенаторов и трех представителей.
7.16. i.
Вот
несколько из десяти различных типов
побеждающих
коалиций, в которых S
— критический
избиратель:
S,
еще один сенатор, президент, вице-президент
и четыре предста-
вителя;
S,
два
других сенатора и четыре представителя;
S,
два других сенатора, президент и три
представителя;
S,
два
других сенатора, вице-президент и
четыре представителя.
Рассмотрим
первую коалицию из перечисленных в
ответе на
пункт (а). Чтобы сформировать
коалицию этого типа, мы должны вы-
брать
одного из трех сенаторов кроме S
(три
возможных способа),
и четыре из пяти
представителей (пять возможных
способов), Таким
образом, есть 3 х
5
= 15 способов, которыми можно
сформировать
коалицию такого типа.
Такой же способ рассуждения годится
и для
других 9
типов
коалиций, в которых S
— критический
избиратель.
Вы
обнаружите, что оказывается, влиятельность
Банцафа для S
равна
132.
Ответы на вопросы
153
7.18. Перечислим индексы Банцафа для избирателей системы: 132
• для каждого из сенаторов, 136
• y$oo ДЛЯ каждого из представителей,
196
• -
Qo
для президента и
96
• для вице-президента.
7.20. (a) i; (б) 5; (в) ю; (г) го; (д) 5; (е) i; (ж) 15; (з) 15.
7.22. Если вам сложно дать объяснение, рассмотрите такую идею: Если вы выбираете к объектов из п, то сколько из п объектов не будут выбраны?
7.23. в) Для любых значений пик
n + i\
Чтобы убедиться в этом, предположим, что вы хотите выбрать к шту- чек из множества п + i штучек, одна из которых красная, а п — голу- бые. Если среди тех к штучек, которые вы выбрали, оказалась крас- ная, то сколько голубых штучек среди выбранных вами? Если среди выбранных вами к штучек красной не было, то сколько вы выбра- ли голубых штучек? (Теперь попытайтесь обобщить это рассуждение, чтобы построить полное доказательство.)
7.25. (а)
i
i i
12 1
i 3 3 i
i 4 6 4 i
i 5 ю го 5 i
i 6 15 20 15 6 i
i 7 21 35 35 21 7 i
35-
7.26. (а) В этом случае S не является ключевым избирателем, (б) В этом случае S является ключевым избирателем.
(в) Существует х = 15 различных способов, которым
можно выбрать этих шесть избирателей.
(г) Существует 6! = 720 различных способов, которыми можн упорядочить этих шесть избирателей,
(д) Будет еще четыре избирателя: сенатор, представитель, прези- дент и вице-президент,
(е) Есть 4! = 24 различных способа, которыми можно упорядо чить четырех оставшихся избирателей.
(ж) Есть 15 х 720 х 24 = 259 200 различных способов, которыми могут быть упорядочены все избиратели в системе, при условии, что S предшествуют ровно два других сенатора и четыре представителя.
Индекс Щепли—Шубика для S будет равен примерно 0,087 или 8,7%.
Индекс Шепли—Шубика для отдельного представителя ра- вен примерно 0,091 или 9,1 %, индекс Шепли—Шубика для президен- та равен примерно 0,136 или 13,6%, а индекс Шепли—Шубика для вице-президента равен примерно 0,061 или 6,1%
Глава ©
Испытание коллегии
Центральные вопросы
Вопрос-разминка 8.1, Как вам, возможно, известно, для выбо- | ов президента США используется институт, известный под названи- • м коллегии выборщиков. Но для этого вопроса мы предположим, что л щ определения победителя на выборах президента в 2000 г. исподь- Ювалась система единственного передаваемого голоса,
В таблице 8.1 представлено общее число голосов, набранных | 1ждым кандидатом на выборах. Эти сведения взяты на сайте фе- \ ральной избирательной комиссии США (bttp://www,fec.gov/). Для удобства мы будем считать, что все, голосовавшие за Брауна, на
Таблица 8.1
Что
такое коллегия выборщиков и как она
работает?
Что означает правило «победитель получает все», и что из него следует для коллегии выборщиков и выборов президента США?
Почему была создана коллегия выборщиков, и почему ее до сих пор ис- пользуют?
Есть ли какие-нибудь альтернативы коллегии выборщиков? Если да, то ка- кие?
второе место поставили Гора, а все, проголосовавшие за Бьюкенена, на второе место поставили Буша. Кроме того, мы будем считать что голоса за второе место «остальных» избирателей распределили поровну между Бушем и Гором.
(а) Если бы 2о % тех избирателей, которые поддержали Нейдера, на второе место поставили Буша, а 8о % — Гора, то кто бы победил на выборах по системе единственного передаваемого голоса?
(б) А если бы по какой-либо странной причине голоса за второе место тех избирателей, которые поддержали Нейдера, распредели- лись бы по-другому: 6о % за Буша и 40 % за Гора, то кто бы победил на выборах по системе единственного передаваемого голоса?
(в) Как вы думаете, существует ли такое распределение избира- телей, поддержавших Нейдера, между Бушем и Гором, что выборы по системе единственного передаваемого голоса окончились бы ничьей? Если да, то можете ли вы найти такое распределение (в процентах или по числу проголосовавших)?
Как мы писали в гл. 2, выборы президента США в 2000 г. поро- дили много споров в политическом мире. Из-за подсчитывания и пе- ресчитывания голосов во Флориде официальные итоги выборов были объявлены только спустя 36 дней после голосования, когда Верховный Суд пятью голосами «за» и четырьмя «против» принял решение забло кировать дальнейший пересчет голосов. В результате Джордж Буш- младший победил Ала Гора в этом штате, (и, следовательно, на прези дентских выборах), причем с перевесом только в 537 голосов из поч 6 миллионов, поданных в этом штате.
Для людей, неискушенных в политике, еще более поразительным был тот факт, что Буш был объявлен победителем на выборах, хотя бесспорно, по числу набранных им голосов он отставал от Ала Гора больше, чем на полмиллиона (см. табл. 8.1). Но мы-то с вами уже со- всем не новички в политике. Так что даже если результат выборов президента США в 2000 г. и кажется несколько странным, он не дол- жен уж очень сильно удивлять нас. Но наши наблюдения могут под- толкнуть нас к тому, чтобы больше узнать о системе, которая привела к такому странному исходу, и как случилось, что именно она была принята. Именно этим мы займемся в этой главе.