Вопрос 5-24*- Удовлетворяет ли относительное большинство модифицированному условию Парето? А система единственного пе- редаваемого голоса? Последовательное попарное голосование? При- ведите убедительные доводы, подтверждающие каждый ваш ответ.

Вопрос 5.25. Объясните, почему каждая избирательная система, удовлетворяющая первоначальному условию Парето, будет удовле- творять также и модифицированному условию Парето.

Вопрос 5.25 говорит нам, что модифицированное условие Парето слабее, чем первоначальное условие Парето. Иначе говоря, избира- тельных систем, удовлетворяющих модифицированному условию Па- рето, больше, чем систем, удовлетворяющих первоначальному усло- вию Парето. С учетом этого, естественно поставить вопрос, останется ли теорема Эрроу по-прежнему справедливой, если заменить условие Парето на модифицированное, более слабое. Возможно, при большем наборе избирательных систем, удовлетворяющих модифицированно- му условию, нам удастся найти систему, которая удовлетворяет и дру- гим условиям Эрроу:

К сожалению, это неудачный подход. Как мы увидим в следующем вопросе, если бы существовала избирательная система, удовлетворя- ющая условиям Эрроу i, з и 5, а также модифицированному условию Парето, то ее можно было бы слегка подправить, так что она стала бы удовлетворять условиям Эрроу i, 3 и 5 и первоначальному условию Парето. Но ведь такая система была бы живым, явным противоречи- ем теореме Эрроу! Таким образом, первая система (которая удовле- творяет условиям Эрроу i, з и 5, а также модифицированному усло- вию Парето) в действительности не может существовать.

Вопрос 5.26. Предположим, что существует избирательная си- стема, скажем, V, которая удовлетворяет условиям Эрроу i, 3 и 5 и модифицированному условию Парето. Пусть V — новая избира- тельная система, определенная следующим образом:

• Если в общественном порядке предпочтений, к которому приво- дит V, нет ничьих, то V приводит к тому же самому общественно- му порядку предпочтений.

• Если в общественном порядке предпочтений, к которому приво- дит V, есть кандидаты, занимающие одинаковую позицию, то V разрешает эту ситуацию, как только общество единогласно пред- почитает одного из этих кандидатов другому (в пользу единоглас- но предпочтенного кандидата). Например, если А и В занимают одинаковую позицию в общественном порядке предпочтений, к которому приводит V⁷, а общество единогласно предпочитает А

кандидату В, то в общественном порядке предпочтений, к кото- рому приводит V, кандидат А окажется выше В. Объясните, почему V' будет удовлетворять условиям Эрроу i, 3 и 5 и первоначальному условию Парето, входя таким образом в противо- речие с сильной формой теоремы Эрроу.

Одобрительное голосование

В 1970-х гг. несколько политологов независимо друг от друга пред- ложили новый метод определения победителя на выборах, в которых участвуют больше двух кандидатов. Этот метод, который теперь обыч- но называют одобрительным голосованием, действует следующим об- разом.

• Каждый избиратель голосует, «одобряя» или «не одобряя» каж- дого кандидата на выборах. Избиратели могут одобрить столько кандидатов, сколько пожелают.

• Общественный порядок предпочтений определяется исходя из числа голосов «за», набранных каждым кандидатом. Вначале идет кандидат, набравший больше всех голосов «за», а в конце —на- бравший меньше всех голосов «за» (при этом допускаются ничьи, когда кандидаты набирают одобрительных голосов поровну). Вопрос 5-27*. Три друга, Питер, Джеймс и Джон, пытаются оп- ределить, кто из них самый замечательный. Для этого они попросили девятерых своих друзей отдать за них голоса. Результаты приведены в табл. 5.4, где / означает голос «за».

Таблица 5.4

Одобрительное голосование

	Число проголосовавших
Кандидат	4	3	2
Питер	/		/
Джеймс		/	/
Джон

(а) Кто окажется самым замечательным при одобрительном голо- совании? Какой получится общественный порядок предпочтений?

(б) Как вы думаете, точно ли отражают результаты одобрительно- го голосования волю избирателей? Почему?

Одобрительное голосование принято многими научными и техни- ческими организациями, такими как Американское математическое

общество, научно-исследовательский институт управления и менедж- мента, Американская статистическая ассоциация и Инженерный ин- ститут электротехники и электроники (IEEE). В каждой из этих орга- низаций используется одобрительное голосование для избрания ру- ководителей и принятия других важных решений. Кроме того, одо- брительное голосование используют при выборах генерального сек- ретаря ООН и выборах новых членов в Национальной академии наук США. В некоторых штатах его используют также на внутренних выбо- рах в политических партиях.

Многие сторонники одобрительного голосования утверждают, что поскольку в этом методе в поданных бюллетенях нет ранжировок, теорема Эрроу к нему неприменима. На первый взгляд, такой вывод кажется вполне логичным. Но в действительности ситуация несколь- ко сложнее. На самом деле вопрос должен стоять так: можно ли рас- сматривать одобрительное голосование как избирательную систему в смысле определения 4-13? Иначе говоря, можно ли одобрительное голосование считать функцией, которая на входе получает набор транзитивных списков предпочтений, а на выходе выдает транзитив- ный общественный порядок предпочтений? Если это так, то теорема Эрроу по-прежнему применима. Если нет, то может быть, в конце кон- цов нам удалось все-таки обнаружить совершенную избирательную систему. Давайте рассмотрим этот вопрос подробнее.

Вопрос 5.28*. Рассмотрим двух избирателей из табл. 5.4, кото- рые одобрили Питера и Джеймса. Какой из следующих индивидуаль- ных порядков предпочтений совместим с одобрительными бюллете- нями этих двух избирателей?

(а) Питер >- Джеймс >- Джон

(б) Джеймс >- Питер >- Джон

(в) Питер « Джеймс >- Джон

(г) Джеймс « Питер « Джон

(д) Питер >- Джеймс « Джон

Вопрос 5.28 наводит на мысль, что хотя для одобрительного го- лосования требуется другой вид бюллетеней, нежели для рассмот- ренных раньше избирательных систем, но на самом деле исходные предпочтения избирателей все равно можно рассматривать прежним способом. Нельзя отрицать, что соответствие между одобрительны- ми бюллетенями и порядками предпочтений немного расплывчато в том смысле, что любой возможный одобрительный бюллетень мо- жет быть совместим с несколькими различными порядками предпо- чтений. И аналогично, каждый возможный порядок предпочтений