Ответы на вопросы

5.4. Поскольку В не занял единолично первое место в обществен- ном порядке предпочтений, должен найтись какой-нибудь другой кандидат, который выше или равен В по порядку. Точно так же, поскольку В не занял единолично последнее место в общественном порядке предпочтений, должен найтись какой-нибудь другой канди- дат, который ниже или равен В по порядку.

5.6. Поскольку каждый избиратель поставил В на первое или на последнее место в своем индивидуальном списке предпочтений, пере-

мещение С выше А при отсутствии других изменений никак не повли- яет на индивидуальные предпочтения избирателей между А и В или между Б и С. Таким образом, согласно НПА, итоговые общественные предпочтения между А и Б, а также между Б и С не изменятся.

5.8. Противоречие заключается в том, что A >z С (согласно вопро- су 5-5) и С >- А (согласно вопросу 5.7). Ясно, что оба эти соотношения не могут выполняться одновременно.

5.10. (а) Если бы все избиратели передвинули В с последнего мес- та на первое, то по единогласию, В должен бы оказаться первым в ито- говом общественном порядке предпочтений.

(б) Если бы только некоторые из избирателей переместили В с по- следнего места на первое, то согласно лемме 5.3 в итоговом обще- ственном порядке предпочтений В либо останется на последнем ме- сте, либо передвинется на первое.

(в) Поскольку общественный порядок предпочтений должен был измениться (вначале в нем В занимал последнее место, когда все из- биратели ставили В на последнее место, а затем В занял первое место, когда все избиратели поставили его на первое место), значит по мере того, как избиратели по одному перемещали В с последнего места на первое в своих индивидуальных списках предпочтений, должен был найтись некоторый избиратель, для которого это изменение в итого- вом общественном порядке предпочтений случилось впервые.

5.11. Согласно критерию НПА, ни одно из перечисленных изме- нений не повлияет на итоговые общественные предпочтения меж- ду А и С.

13. Поскольку общественное предпочтение между А и С оди- наково и при системе S и при системе S', (согласно вопросу 5-п), а А предпочтительнее С в итоговом общественном порядке предпо- чтений, к которому приводит S' (согласно вопросу 5-12), мы можем заключить, что в итоговом общественном порядке предпочтений, к которому приводит S, А тоже будет предпочтительнее С.

14. До вопроса 5.11 мы предполагали лишь, что для v_;- кандидат А предпочтительнее С. Одно только это предположение позволило нам (после некоторых усилий) сделать вывод, что А оказался предпочти- тельнее Сив итоговом порядке предпочтений. Поскольку мы ничего не предполагали о предпочтениях других, кроме v_;, избирателей, наш вывод не изменится, даже если для некоторых или всех остальных из- бирателей, отличных от v_;-, кандидат А не будет предпочтительнее С.

5.16. Утверждение пункта (а) справедливо, так как v_;- удовле- творяет всем трем условиям. (Мы установили это для первых двух

условий, и аналогичные рассуждения годятся и для третьего условия.) Значит, мы можем заключить, что v* — это диктатор v_;-.

5.20. Чтобы доказать лемму 5.18, мы должны предположить, что у нас есть избирательная система V, обладающая свойством монотон- ности и удовлетворяющая критерию НПА и условию гражданского полноправия. Затем мы должны попытаться доказать, что V удовле- творяет также и единогласию.

23. Мы можем доказать, как мы того и хотели, что V удовлетво- ряет единогласию. Этим заканчивается доказательство леммы 5.18.

24. Правило относительного большинства удовлетворяет моди- фицированному условию Парето. Если каждый избиратель на выбо- рах ранжирует А выше В, то Б не получит ни одного голоса за первое место. Поэтому А не может набрать голосов за первое место меньше, чем Б, и согласно правилу относительного большинства в итоговом общественном порядке предпочтений Б не может оказаться выше А (хотя у них может оказаться равный результат). Система единствен- ного передаваемого голоса тоже удовлетворяет модифицированному условию Парето, в то время как последовательное попарное голосо- вание ему не удовлетворяет (как доказано в вопросе 4.21).

5.27. (а) Поскольку Питер получает 6 голосов «за», Джеймс —5, а Джон не получает ни одного, одобрительное голосование приведет к такому общественному порядку предпочтений:

Питер >- Джеймс >- Джон.

5.28. Каждый из индивидуальных порядков предпочтений в пунк- тах (а), (б) и (в) может быть совместим с одобрительными бюллетеня- ми двух указанных избирателей. А порядки предпочтений в пунктах (г) и (д) не могут быть совместимы с этими бюллетенями, поскольку в каждом из них указана ничья между двумя кандидатами, один из которых одобрен, а другой — нет.

30. Одобрительное голосование — это избирательная система в смысле определения 4.13, хотя при таком голосовании нарушается свойство универсальности, поскольку накладываются ограничения на виды списков предпочтений, которые могут подаваться как вход- ные данные.

31. (а) Предположим, что голосуя в первый раз, избиратель одобрил и А, и Б (т. е. поставил и А, и Б на первое место в своем индивидуальном списке предпочтений). Тогда на перевыборах он должен опять или одобрить и А, и Б, или не одобрить их обоих.

*8 лист, Матем. выборов

Ответы на вопросы

В первом случае и Л, и В сохранят голос «за», который они получили от избирателя при первом голосовании. Во втором случае и Л, и В по- теряют голос «за», который они получили от избирателя при первом голосовании. В любом случае результат для обоих кандидатов будет совершенно одинаковым, так что итоговая разность полученных ими голосов «за» не изменится. То же самое справедливо, если избиратель вначале не одобрил обоих кандидатов Л и В, или же одобрил одного из них, и не одобрил другого.

(б) Пункт (а) позволяет заключить, что одобрительное голосова- ние удовлетворяет критерию НПА.

5.32. Одобрительное голосование анонимно, нейтрально, моно- тонно и удовлетворяет условию Парето.

5-35- (а) Поскольку между А и В нет других кандидатов, интенсив- ность предпочтения А у В равна о.

(б) Поскольку между А и В есть еще два кандидата (С и D), то интенсивность предпочтения А у В равна 2.

5.37. Из каждого из двух бюллетеней, содержащих частичный по- рядок Г у Ш, Грег получит на одно очко больше, чем Шерон. Из бюл- летеня, содержащего частичный порядок Ш у К у Г, Шерон получит на два очка больше, чем Грег. И из оставшегося бюллетеня Грег полу- чит на три очка больше, чем Шерон, что приведет к общественному предпочтению Г у Ш.

5.39. Правило Борда удовлетворяет универсальности, единогла- сию и критерию ИПН, не являясь при этом диктатурой. Но это не противоречит теореме Эрроу, поскольку критерий ИПН слабее, чем критерий НПА,

Глава ©

Один человек —один голос?

Центральные вопросы

• Что такое избирательная система с весом? Какие бывают простые приме- ры избирательных систем с весом?

• Чем избирательные системы с весом похожи на избирательные системы, изученные нами в предыдущих главах? Чем они отличаются?

• Что значит для избирателя быть диктатором или обладать правом вето, если используется избирательная система с весом? Эквивалентны ли эти свойства?

• Как можно использовать свойства устойчивости к мене и устойчивости к сделке, чтобы характеризовать избирательную систему с весом?

Вопрос-разминка 6.1. Предположим, что после особенно неу- дачной рекламной кампании, три акционера Captain Ahab's Fish & Chips созвали внеочередное собрание, чтобы решить судьбу тогдаш- него вице-президента по маркетингу Дина Бумхауэра. Количество акций каждого акционера представлено в табл. 6л.

Таблица 6.1

Акционеры Captain Ahab's

Акционер	Число акций
Дуг Николас Элизабет	ioi 97 2

В начале собрания Дуг предложил уволить Бумхауэра и подыскать ему замену. Предложение было поставлено на голосование и теперь каждый акционер должен проголосовать по предложению Дуга, ска- зав «да» или «нет».

(а) Можно ли назвать правило большинства подходящим методом для определения результатов голосования? Почему?

(б) Как вы думаете, какой метод следует использовать для опре- деления результатов голосования? Как вы думаете, какая судьба ожи- дает Бумхауэра, если будет использован этот метод?

Если вы вернетесь к тому, что мы обсуждали в гл. i, вы, возможно, вспомните, что там мы начали перечислять желательные свойства, которыми, как мы хотели, обладали бы избирательные системы. Пер- вым из них мы назвали анонимность (т. е. чтобы все избиратели были равны). Идея «один человек, один голос» кажется неразрывно связан- ной с нашим понятием демократии, и это справедливо. Но, как мы только что видели в вопросе-разминке 6.1, бывают ситуации, когда нельзя согласиться с тем, чтобы предпочтения всех избирателей име- ли бы одинаковый вес. Например, в деловом мире слово акционеров, у которых больше акций в компании, более весомо при принятии ре- шений, чем слово тех, у которых акций меньше, и это совершенно правомерно. В этом случае неравенство кажется вполне разумным — в конце концов, было бы бессмысленно, если бы обладатель двух ак- ций компании был бы так же влиятелен, как владелец половины ком- пании.

Отвечая на пункт (б) вопроса 6.1, вы, возможно, предложили, чтобы голосу каждого акционера был приписан некоторый вес, так чтобы он был пропорционален числу акций, которыми он владеет. Избирательные системы, действующие в соответствие с этим прин- ципом, обычно называются избирательными системами с весом. Как правило, они возникают в ситуациях, когда по какому-либо предложе- нию требуется принять решение вида да/нет или принять/отклонить. Важно заметить, что такой вид выборов контрастирует с выборами, которые мы изучали в предыдущих главах. Раньше нас интересовало построение некоторой ранжировки потенциальных кандидатов на определенную должность, или по крайней мере выбор победившего кандидата. А теперь наша главная цель состоит в том, чтобы дать ответ да/нет на некоторый вопрос (например, «Следует ли уволить Бумхауэра и подыскать ему замену?»). Это не значит, что избира- тельные системы с весом не возникают при других обстоятельствах. Действительно, система, используемая на выборах президента Соеди- ненных Штатов (коллегия выборщиков) — это разновидность изби- рательной системы с весом. Мы подробно рассмотрим эту частную систему в гл. 8, а пока сосредоточимся на избирательных системах с весом в рамках принятия решений да/нет.