Благодарности От Джона

Этот проект никогда бы не воплотился в жизнь без поддержки I одобрения моих друзей, семьи и товарищей по работе.

Я особенно благодарен Джиму Брэдли за то, что он познакомил меня с областью теории выборов, а также Арту Уайту и Алену Швенку за то, что они помогли обратить мой интерес к математике в нечто большее, чем просто хобби.

Еще я благодарен моим коллегам в Университете Гранд-Велли ш их личную и профессиональную поддержку в течение послед- них нескольких лет. Они во многом научили меня, что значит быть хорошим преподавателем и хорошим математиком. Принадлежать к такому выдающемуся коллективу преподавателей и специалистов — большая удача.

Писать книгу—тяжелый труд, но у меня был замечательный со- автор, и это сделало задачу не такой уж непреодолимой. Я искренне ценю творческий дар Рика, его трудоспособность и то что, он так кста- ти компенсировал мою полною некомпетентность в вопросах спорта. Я благодарен судьбе за чудесную семью, замечательных друзей, моих братьев и сестер во Христе, которые поддерживали меня и одновре- менно были требовательны ко мне. Я испытываю огромное чувство благодарности к моей жене, которая подарила мне больше, чем любой муж вправе ожидать. Мелисса, ты—любовь моей жизни, и я с радо- стью смотрю в будущее, думая, что нас ждет еще много хорошего.

И наконец, эта книга никогда бы не появилась на свет, если бы Господь не устроил это. Хотя Он так добр, что позволил мне приписать себе эти идеи, на самом деле они Его, а не мои. Поэтому я надеюсь, что могу прославить Его с помощью этой книги и всего того, к чему она приведет.

От Рика

Я бы хотел высказать особую благодарность Джону за то, что он отвел мне такую значительную роль в работе над этой книгой. Для Джона интерес к теории голосования и выборов —и профессиональ- ная необходимость, и хобби. А для меня это в основном развлечение. Поэтому вначале я согласился отредактировать книгу и предоставить

Джону некоторую историческую и биографическую информацию, а также вопросы для дальнейшего изучения для его книги. Но вышло так, что я сделал гораздо больше, чем мы оба вначале планировали — написал полностью первые версии двух глав и очень много поработал с остальными. Поэтому книжка оказалась нашей общей, а не только его (и, по крайней мере бы для этих двух глав, мы почувствовали роль партнера в проекте). Тем не менее, любая книга как идея зарождается в голове только одного человека, и с моей стороны было бы упущени- ем не сказать, что для этой книги таким человеком был Джон.

От Джона и Рика

Мы хотим адресовать особую благодарность «Educational Advance- ment Foundation^ Университету Гранд-Велли и Апполачскому универ- ситету за щедрую поддержку проекта, в результате которого появи- лась эта книга. Мы хотим поблагодарить также Гарри Лукаса-млад- шего за его проницательность и великодушие; Грега Фоли за то, что познакомил нас; а также Стива Шликера, Билла Болдри и Кэтрин Фре- рикс за то, что рассмотрели нашу заявку на грант и предложили свою поддержку.

Мы особенно благодарны Сергею Гельфанду и Американскому Математическому Обществу за воодушевляющую поддержку наших усилий и за то, что процедура опубликования прошла гладко. Здесь же мы хотим поблагодарить Элен Беккер, Мэтти Боулкниса и Джераль- да Клима за то, что они прочитали рукопись и сделали множество полезных замечаний и предложений.

И наконец, летом 2004 г. нам доставила большое удовольствие ра- бота с тремя выдающимися помощниками из числа студентов: Май- ком Чейни, Питом Швельером и Дейвом Уилсом. Их способность проникать в суть вещей и умение видеть все в перспективе были бесценны, и мы не можем представить, чтобы книга была написана без них. Мы просто обязаны дать дружеский совет каждому работо- дателю: возьмите их на работу прежде чем это сделает кто-нибудь другой! Это толковые, работоспособные ребята, а находиться с ними рядом — сплошное удовольствие. Нам повезло, что они включились в этот проект и мы желаем им всего самого лучшего в их будущих начинаниях.

Предисловие

В минувшее десятилетие или около того темы из обществен- ных наук постепенно проложили себе путь в многочисленные мате- матические публикации —и на уровне среднего образования, и на университетском уровне. В колледжах эти темы часто преподают н рамках курса «Математика для гуманитариев», предназначенного для тех, кто не специализируется в математике. В высшей школе их используют в качестве упражнений в математическом модели- звании и решении задач. Такой подход вполне отвечает стандарт- ным требованиям Национального совета учителей математики (The National Council of Teachers of Mathematics, NCTM), предъявляемым к умению рассуждать, доказывать, передавать и представлять инфор- мацию и работать совместно. Некоторые колледжи и университеты теперь даже предлагают целые семестровые курсы, посвященные ма- тематике в политике и общественном выборе. Недавно Университет Гранд-Велли ввел такой курс в число изучаемых дисциплин, и эта I нига была написана в ответ на потребности этого курса.

Этот университетский курс под названием «Математика голо- сования и выборов» предназначен для студентов последних двух курсов с самой разной математической подготовкой. Его можно рас- < ммтривать как часть общеобразовательной программы студентов, и единственное требование к уровню математической подготовки — полный курс базовой университетской программы по математике, п который входят алгебра в объеме колледжа, математика для гума- нитариев, вводный курс статистики, логика (изучаемая на факультете философии) и даже программирование на Visual Basic. При этом ауди- юрия курса оказалась очень разнородной. Когда мы только начали читать этот курс, на него приходили студенты самых разных специ- ализаций, включая бухгалтерский учет, бизнес, компьютерные тех- нологии, экономику, инженерное дело, английский язык, географию, Ш торию, математику, философию и политологию (и все это в группе it | 17 человек!). В то же время аналогичный курс, но для слушателей, и основном специализировавшихся на математике, был прочитан в Лппалачский университет.

Мы думаем, что эта книга полезна в обеих ситуациях. Студенты i более высокой математической подготовкой, в отличие от тех, кто не специализируется в математике, будут подходить к этой теме с

другой точки зрения. Более того, преподаватель может менять свой подход и цели, чтобы соответствовать потребностям обеих групп. Мы также верим, что эта книга вполне годится для самостоятельного изучения, в основном благодаря своему практическому, основанному на решении задач, подходу.

С точки зрения педагогики, при создании этой книги нас вдохнов- ляла наша причастность к наследию проекта Р. Л. Мура. Этот проект был начат в Университете штата Техас, в Остине, чтобы содействовать распространению методов «обучения на основе открытий», введен- ных покойным доктором Р.Л.Муром. Он специализировался в топо- логии, и стиль его преподавания состоял в том, что студентам пред- лагалась тщательно проработанная последовательность задач, кото- рые они решали, а затем обсуждали. Подход, принятый в нашей кни- ге, следовало бы называть модифицированным методом Мура, более всего (причем иронически) потому, что Мур никогда не использовал учебников на занятиях.

Когда мы начали писать эту книгу, мы хотели внести в нее дух ме- тода Мура, но мы хотели быть уверенными, что текст подойдет и для не-математиков. Для этого мы постарались писать в непринужденном стиле, не отпугивая читателя. Кроме того, мы постарались поместить каждую тему в подходящий исторический контекст и по ходу дела рас- сказать интересные и увлекательные истории.

Если вы привыкли работать с более традиционными математиче- скими текстами, вы можете заметить, что некоторые общие их черты не проявились в нашей книге. Прежде всего, мы не включали никаких подробных примеров в основной текст. Вместо этого мы ввели вопро- сы «со звездочкой», полные или частичные ответы к которым приве- дены в конце каждой главы. Эти вопросы предназначены для того, чтобы помочь читателю оценить свое понимание основных опреде- лений и понятий прежде, чем перейти к более трудному материалу. Таким образом, эти вопросы со звездочкой играют ту же роль, что и примеры в других текстах, но происходит это таким образом, чтобы заставить читателя активнее работать над новыми понятиями.

Мы не включали однотипных задач на отработку определенных навыков, а вместо этого сосредоточились на вопросах, которые тре- буют глубокого анализа и умения критически мыслить. Собственно говоря, мы используем эти вопросы не для того, чтобы просто допол- нить материал книги, но чтобы существенно развить его. Поэтому со- вершенно необходимо, чтобы читатель трудился над книгой с каран- дашом в руках и тщательно прорабатывал каждый вопрос основного материала, прежде чем двигаться дальше. Единственное исключение

из этого правила — вопросы для дальнейшего изучения, приведенные в конце каждой главы. Мы рекомендуем проработать их, но, строго говоря, это не обязательно.

Сложно охватить весь материал этой книги в односеместровом курсе по теории голосования. Правда, некоторые главы и разделы можно опустить без потери цельности. А именно:

• Главы 1—4 вводят основания математической теории голосования вплоть до теоремы Эрроу, и их нужно изучать по порядку. Тем не менее, доказательство теоремы Мэя (оно начинается на с. 22) можно пропустить, и это не вызовет трудностей в дальнейшем.

• В главе 5 читатель проводит доказательство теоремы Эрроу, а за- тем там обсуждаются три возможных варианта разрешения труд- ностей, вскрытых в этой теореме. Вся эта глава может быть пропу- щена, хотя было бы неплохо проработать хотя бы раздел по одоб- рительному голосованию (он начинается на с. 103).

• Главы 6 и 7 связаны друг с другом, и их следует изучать по поряд- ку. Они лишь немного опираются на материал первых четырех глав.

• Главы 8, 9 и ю по существу не зависят от остального текста и друг от друга; их можно изучать в любом порядке или опустить. В гла- ве 8 в небольшой степени используется терминология глав 6 и 7 (в особенности в отношении коалиций и индексов влияния), но для понимания достаточно лишь поверхностного ознакомления с этими идеями.

И наконец, хотя эта книга предназначена для использования в курсе теории голосования для студентов старших курсов, мы думаем, что она может быть частично использована и для стандартного курса математики для гуманитариев или как дополнение к существующей программе последних курсов. Более того, хотя наш собственный под- ход к преподаванию по этой книге включает коллективную работу, доклады студентов, обсуждения, дебаты, а не чтение лекций в каком (1Ы то ни было виде, мы призываем преподавателей экспериментиро- вать и с другими методами и формами работы. Мы надеемся, что эта книга послужит полезной отправной точкой, какими бы ни были ва- ши цели в преподавании, и что вы не постесняетесь обратиться к нам, если у вас есть какие-либо комментарии, вопросы и предложения.

Джон Ходж hodgejoOgsvu.edu Рик Клима KlimareOappstate.edu

ГЛАВА Q

Чем так хорошо правило большинства?

Центральные вопросы

• Какие системы могут быть использованы для определения победителя на выборах с двумя кандидатами? Каковы сильные и слабые стороны каждой из этих систем?

• Какие критерии могут быть использованы для оценки избирательных си- стем в выборах с двумя кандидатами?

• Что особенного или уникального в правиле большинства? Какая теорема доказывает эту уникальность?

• Что такое избирательная система с квотой? Как избирательные системы с квотой связаны с правилом большинства и его уникальными чертами?