Вопрос 9.14*. Какие из бинарных матриц предпочтений из табл. 9.2 симметричны? а какие несимметричны? Объясните ваши ответы в каждом случае.

Вопрос 9.15. Верхняя половина бинарной матрицы предпочте- ний избирателя показана ниже. В предположении, что матрица сим- метрична, найдите нижнюю половину.

/I г 14 i о I

Oil

OOI

V ! /

Если нам известно, что бинарная матрица предпочтений изби- рателя симметрична, мы можем сделать кое-какие выводы о пред- почтениях избирателя. Например, если мы знаем, какой результат для избирателя наиболее предпочтительный, то мы легко можем оп- ределить, какой результат для него наименее предпочтительный. И, как мы только что видели в вопросе 9.15, если нам известно, как выглядит верхняя половина симметричной матрицы предпочтений, мы легко можем определить, как выглядит нижняя.

Как вы могли заметить в вопросе 9.14, в табл. 9.2 есть только одна бинарная матрица предпочтений, которая является симметричной — та, которая соответствует избирателю с сепарабельными предпочте- ниями. Это наводит на мысль, что, возможно, существует некоторое соотношение между свойствами сепарабельности и симметрии. Ко- нечно, было бы ошибкой делать общий вывод об особенностях этого соотношения, основываясь только на трех матрицах предпочтений из вопроса 9.14. Но нам помогут разобраться с деталями некоторые ма- тематические соображения.

¹ Теорема 9.16 —первая в ряду результатов этой главы, которые мы сформулируем, но не докажем. Это не значит, что доказательства крайне сложные или недоступные для вашего понимания. Они просто используют некоторые обозначения, которые мы не вводили, и опираются на несколько более формальный (т. е. менее интуитивный) подход к идее сепарабельности.

Теорема 9.16. Если предпочтения избирателя на референдуме се- парабельны, то бинарная матрица предпочтений этого избирателя будет симметрична \

Таблица 9.3

Бинарная матрица предпочтений

/I I 14 I О I Oil

OOI

I I о

0 I о

1 о о \о о о/

Вопрос 9-17*- Какой вывод на основании теоремы 9.16 и вашего ответа на вопрос 9.12 вы можете сделать о предпочтениях, приведен- ных в вопросе 9.8?

Вопрос 9.18*. Если бинарная матрица предпочтений избирате- ля на выборах симметрична, то значит ли это, что предпочтения изби- рателя должны быть сепарабельны? Приведите убедительные доводы или пример, подтверждающий ваш ответ.

Итак, мы можем видеть, что хотя несимметричность бинарной матрицы предпочтений позволяет нам заключить, что предпочте- ния избирателя не сепарабельны, симметричность бинарной матри- цы предпочтений не помогает нам, когда мы хотим доказать, что предпочтения избирателя сепарабельны. В этом случае нам необхо- дим другой метод.

Метод 2. Объединения и пересечения

Исследуя предпочтения избирателей на референдуме, мы могли бы интуитивно придти к выводу, что сепарабельность некоторых на- боров предложений должна быть связана с сепарабельностью других наборов предложений. Например, если мы знаем, что предложение i само по себе сепарабельно относительно некоторого избирателя V, и что предложение 2 тоже само по себе сепарабельно относительно V, то мы можем ожидать, что предложения i и 2 в совокупности будут также сепарабельны относительно v. Так ли это? Чтобы ответить на этот вопрос, давайте рассмотрим один пример.

Вопрос 9.19*. Бинарная матрица предпочтений из табл. 9.3 со- ответствует предпочтениям некоторого избирателя на референдуме с тремя предложениями.

(а) Сепарабельны ли предпочтения этого избирателя? Почему?

(б) Какие наборы предпочтений сепарабельны относительно это- го избирателя? Объясните, как вы пришли к такому выводу.

(в) Основываясь на вашем ответе на пункт (б), какой вывод вы можете сделать о следующем утверждении:

Если на референдуме два набора S иТ предложений сепарабельны относительно предпочтений некоторого избирателя, то объеди- нение S и Т (т. е. набор предложений, которые входят либо в S, либо в Т, либо в оба этих набора) тоже сепарабелъно относитель- но предпочтений этого избирателя.

Вопрос 9.19 показывает, что понятие сепарабельности в контек- сте референдумов не настолько удобно, как мы могли того ожидать. Фактически, вывод, который вы сделали относительно утверждения в пункте (в) вопроса 9.19, на первый взгляд, казалось бы, противоре- чит очень важной теореме в области экономики. Эта теорема, впер- вые появившаяся в 1968 г. в статье экономиста В. М. Гормана, утвер- ждает в сущности, что в экономике сепарабельность обладает некото- рыми удобными свойствами относительно таких операций, как объ- единение. Другими словами, если бы мы пытались решить, как инве- стировать или распределять наши деньги, или какие различные по- купки сделать, мы бы были гораздо удачливее. Такой вид задач отли- чается от тех, которые мы изучаем в этой главе. Действительно, тогда как у меня есть возможность купить немного золота и немного зерно- вых, я не могу проголосовать немного «да» и немного «нет». Голосуя, я должен сказать либо «да», либо «нет», а промежуточных вариантов нет. У этого различия, как оказывается, есть несколько значительных (и возможно неудачных) следствий.

Но важно заметить также, что еще не все потеряно. По крайней мере одно из удобных свойств, выполняющихся в мире экономики, выполняется и при проведении референдумов. Хотя мы не можем быть уверенными, что объединение сепарабельных наборов S и Т сепарабельно, мы можем быть уверенными, что сепарабельно их пересечение (т.е. набор предложений, входящих и в S, и в Г). Как мы узнаем из следующего вопроса, этот факт может быть очень полезен.

Вопрос 9.20*. Предположим, вам известно, что на референдуме с четырьмя предложениями все три набора предложений {А, В, С}, {А, С, D} и {В, С, D} сепарабельны относительно некоторого избира- теля. Какие еще наборы предложений, если такие найдутся, тоже бу- дут сепарабельными относительно этого избирателя? Приведите убе- дительные аргументы, подтверждающие ваш ответ.