Ответы на вопросы

4.2. (а) Система Блэка вернется к правилу Борда. Дейл станет по- бедителем, и итоговым общественным порядком предпочтений будет D у Р у W.

(б) Поскольку согласно пункту (а) Уейн оказывается последним в итоговом порядке предпочтений, его выход из борьбы не изменит ее результата.

(в) Когда Уэйна исключат из бюллетеня, по системе Блэка победит Пол.

(г) Действительно странно, что исключение самого слабого кан- дидата из ранжировки пункта (а) приведет к тому, что победителем вместо Дейла станет Пол.

4.4. Система Блэка не удовлетворяет критерию НПА. Чтобы пока- зать это, можно использовать пример из вопроса 4.2.

4.9. Ни одна из перечисленных систем не удовлетворяет крите- рию НПА.

4.10. И диктатура, и правило навязанного выбора удовлетворяют НПА.

4.и. (а) Приведенные попарные предпочтения могут привести только к одному возможному порядку предпочтений X >- Z >- У; этот порядок транизитивен.

(б) Мы знаем, что X >- У и Z >- X. Для того, чтобы итоговый об- щественный порядок предпочтений был транзитивен, нужно потре- бовать еще, чтобы Z >■ У.

(в) Если в выборах примет участие четвертый кандидат, инфор- мации, данной в пункте (а), станет недостаточно, чтобы определить, будет ли транзитивным итоговый общественный порядок предпочте- ний. Нам нужно будет еще знать, как общество оценивает нового кан- дидата в сравнении с каждым из кандидатов X, У и Z.

4.12. (а) Если бы победителем был выбран А, две трети избирате- лей предпочли бы С. Но если бы победителем был выбран В, две трети избирателей предпочли бы А. А если бы победителем был выбран С, две трети избирателей предпочли бы В.

4.19. (а) Мы знаем, что А выигрывает, даже не набрав ни одного голоса за первое место, но это не позволяет нам заключить, что ис- пользуемая избирательная система нарушает единогласие.

(б) Поскольку для всех избирателей В предпочтительнее А, ес- ли система удовлетворяет единогласию, в итоговом общественном порядке предпочтений В должен быть выше А. Но, конечно же, это невозможно, если А побеждает на выборах. Значит, использованная система должна нарушать единогласие.

4.20. (а) Правило относительного большинства почти удовлетво- ряет единогласию, т. е. удовлетворяет ему не полностью. Рассмотрим выборы с тремя кандидатами, на которых предпочтения каждого из- бирателя выглядят как А >- В >- С. В этом случае для каждого изби- рателя В предпочтительнее С, но в итоговом общественном порядке предпочтений В и С займут одинаковую позицию, поскольку ни один из них не получает голосов за первое место.

(б) Правило Борда удовлетворяет единогласию. (Можете ли вы объяснить, почему это так?)

(в) Система единственного передаваемого голоса нарушает еди- ногласие по той же причине, что и правило относительного большин- ства.

Глава @

Объяснение невозможного

Никто и не утверждает, что демократия совер- шенна или исполнена мудрости. На самом деле де- мократию называют худшей из всех форм правления, кроме тех, которые время от времени пытались ис- пользовать.

Уинстон Черчилль

Центральные вопросы

• Какая идея лежит в основании доказательства теоремы Эрроу?

• Можно ли ослабить условие единогласия Парето, чтобы разрешить пробле- мы, вскрытые теоремой Эрроу?

• Что такое одобрительное голосование? Разрешает ли оно какие-нибудь проблемы, вскрытые теоремой Эрроу?

• Что такое интенсивность критерия попарной независимости? Как он свя- зан с теоремой Эрроу?

Вопрос-разминка 5.1. Рассмотрим следующее математическое утверждение:

Целое число не может делиться на 2, и и 23 и быть при этом меньше 500.

Истинно или ложно это утверждение? Приведите убедительные доводы или пример, чтобы подтвердить ваш ответ.

Предположим, мы хотим доказать, что утверждение из вопроса- разминки 5.1 истинно. Как мы можем сделать это? Один из способов такой: просто проверим одно за другим все целые числа и убедим- ся, что среди них нет таких, которые делятся на 2, п или 23 и при >том меньше 500. Но ведь это может занять много времени, не так ли? В действительности, поскольку целых чисел бесконечно много, мы никогда не сможем проверить их все.

Конечно же, мы могли бы заметно сократить объем работы, если ЙЫ рассматривали только те числа, которые меньше 500. Тогда нам

осталось бы только показать, что ни одно из них не делится одновре- менно на 2, и и 23. Но даже в этом случае работы ужасно много. Не знаю, как вам, а мне уж точно не хочется перебирать все числа в этом длинном списке, искать делители каждого из них и: ну, вы понимаете.

К счастью, существует гораздо лучший способ доказать, что утвер- ждение из вопроса-разминки 5.1 истинно. Что, если вместо того, что- бы одно за другим перебирать все числа, мы построим какие-нибудь логические доводы для доказательства истинности этого утвержде- ния? Например, мы могли бы рассуждать примерно так:

Каждое из чисел 2, и и 23 простое. Таким образом, любое целое число, которое делится на 2, и и 23, должно быть больше или равно их произведению 2x11x23 = 506. Следовательно, целое число не может делиться на 2, и и 23 и при этом быть меньше 500.

Я догадываюсь, о чем вы сейчас думаете. Какое отношение это все имеет к выборам? Что ж, ответ на этот вопрос может удивить вас. Трудно поверить, но стратегия, которую мы только что использовали при доказательстве утверждения из вопроса-разминки 5.1, может быть использована и для доказательства теоремы Эрроу. Очень скоро мы увидим, как это можно сделать. Но сначала давайте остановимся и посмотрим, где мы находимся и куда идем. Напомним, что в первых четырех главах мы рассмотрели множество избирательных систем, и у каждой из них был хотя бы один серьезный недостаток. В главе 4 мы пролили свет на эти трудности, познакомившись со знаменитой теоремой о невозможности Кеннета Эрроу и обнаружив, какой раз- рушительный эффект она произвела на наши поиски совершенной избирательной системы. В этой главе мы постараемся понять, почему теорема Эрроу верна, и рассмотреть некоторые возможные варианты разрешения проблем, которые обнаружил Эрроу.