Правило большинства и теорема Мэя

К этому времени у вас могло возникнуть ощущение, что мы уже достаточно долго кружим около главной темы. В некотором смысле, вы правы. Мы до сих пор не только не нашли совершенной избира- тельной системы для выборов мэра в Стикивилле, но даже не рассмот- рели самого очевидного решения.

Если только вы не хотели показаться оригиналом, ваш ответ на вопрос-разминку i.i был приблизительно таким: каждый из граждан Стикивилля должен отдать голос либо за Довелла, либо за Штуцман. После этого нужно подсчитать голоса за каждого из кандидатов, и тот из них, кто получил наибольшее число голосов, должен быть объяв- лен победителем. Если вы особенно проницательны, вы, возможно, добавили замечание о том, как разрешается вопрос в случае равного распределения голосов. Пока нас это не будет беспокоить. Мы просто примем соглашение, что если голоса распределятся поровну, то будет применена отдельная дополнительная процедура.

Как бы то ни было, избирательная система, описанная в преды- дущем абзаце, известна как правило большинства. Кажется очевид- ным, что правило большинства гораздо более разумно, чем любая из рассмотренных нами систем. А как обстоят дела с тремя желаемыми условиями, которые мы обсудили — анонимностью, нейтральностью

и монотонностью? Оказывается, правило большинства удовлетворяет им всем!

Вопрос I.I6. Запишите ясное и точное объяснение, почему пра- вило большинства анонимно, нейтрально и монотонно.

Итак, в конце концов мы нашли избирательную систему, исполь- зование которой кажется вполне допустимым, по крайней мере, она удовлетворяет разумно определенным стандартам. Теперь возникает тественный вопрос: существуют ли другие (кроме правила боль- шинства) избирательные системы для выборов с двумя кандидата- ми, которые также удовлетворяют этим стандартам? Оказывается, н 1952 г. математик Кеннет Мэй ответил на этот вопрос в статье, содержащей следующую теорему:

Теорема Мэя. В случае выборов, в которых участвуют два кан- дидата и нечетное число избирателей, правило большинства —един- ственная избирательная система, которая анонимна, нейтральна, монотонна и не допускает возможности равного распределения го- лосов.

Вопрос 1.17. Почему в случае выборов с двумя кандидатами осо- бенно важно, чтобы избирательная система не допускала возможно- сти равного распределения голосов?

На самом деле теорема Мэя — простое следствие другой теоремы, | носящейся к системам с квотами, которые мы рассмотрим ниже.

Системы с квотой

Определение 1.18. Избирательная система называется систе- мой с квотой, если существует некоторое число q, называемое кво- той, такое, что кандидат может быть объявлен победителем в выбо- рах, если и только если он(а) получает по меньшей мере q голосов.

Следует сделать несколько замечаний.

• В математике выражение «если и только если» имеет специаль- ный смысл. В приведенном выше определении оно означает, что

• если кандидат получит не менее q голосов, то он будет объявлен победителем в выборах;

• если кандидат не получит не менее q голосов, то он не будет объявлен победителем в выборах.

• Когда для выборов с двумя кандидатами принята система с кво- той, может случиться так, что на выборах окажутся два победи- теля (если оба кандидата достигли квоты) или два проигравших

(если ни один из кандидатов не достиг квоты). В любом из этих случаев должна быть применена отдельная процедура. • Важно заметить, что в системе с квотой сама 119га может зави- сеть от числа проголосовавших избирав \ci\. Например, в шта- те Флорида любое предложение ввести новые налоги или пошли- ны должно быть одобрено двумя трет м | овавших. Та- ким образом, если 900 граждан Флориды принят участие в голо- совании по этому предложению, то для того, чтобИ оно было при- нято, требуется боо «Да»; значит, квота системы будет равна боо. Но если проголосовали 900000 граждан Флориды, то квота систе- мы будет равна боо ооо, а не боо.