Здесь нам придется проявить хитрость. Напомним, что мы начали наши рассуждения с леммы 5.3 и с предположения, что все избиратели поставили кандидата В на последнее место. Это позволило нам найти потенциального диктатора, v_;, который контролирует общественные предпочтения между любой парой кандидатов, в которую не входит В. Если бы мы начали с предположения, что все избиратели поставили на последнее место какого-нибудь другого кандидата, скажем, А, мы бы пришли к тому, что нашелся бы другой потенциальный диктатор, допустим, Vj, который бы контролировал общественные предпочте- ния между любой парой кандидатов, в которую не входит А.

Вопрос 5.15. Пусть с — произвольный кандидат, отличный от а

и В.

(а) Возвращаясь к вопросу 5.10, четко объясните, как Vj мог бы повлиять на общественные предпочтения между В и С. (Подсказка. Вспомним, что Vj выбран как ключевой в некотором смысле избира- тель. Возможно, вы захотите изучить предпочтения в табл. 5.2 и 5.3 и итоговые общественные порядки предпочтений.)

(б) Какой вывод о соотношении между v_t и Vj позволяет вам сде- лать ваш ответ на пункт (а)? (Подсказка. Напомним, что v_t полностью контролирует общественные предпочтения между любой парой кан- дидатов, в которую не входит А.)

Вопрос 5.16*. I. Рассмотрите ваш ответ на вопрос 5.15 и решите, истинно или ложно следующее утверждение. Кратко объясните, как вы сделали такой вывод.

2. Существует единственный избиратель v*, который удовлетво- ряет всем трем следующим свойствам:

• v* полностью контролирует общественные предпочтения между любой парой кандидатов, в которую не входит А.

• v* полностью контролирует общественные предпочтения между любой парой кандидатов, в которую не входит В.

• v* полностью контролирует общественные предпочтения между любой парой кандидатов, в которую не входит С.

3. Если бы существовал избиратель v*, удовлетворяющий всем трем свойствам из пункта (а), то какой вывод вы могли бы сделать о нем?

Вопрос 5-17*- Подведите итог изученному в этом разделе, напи- сав подробный план доказательства сильной формы теоремы Эрроу.

Прежде чем мы сможем формально покончить с теоремой Эрроу, нам нужно под конец обдумать еще одну деталь. Вспомним, что мы получили сильную форму теоремы Эрроу, заменив условия Эрроу 2 и 4

(монотонность и гражданское полноправие) на условие Парето (еди- ногласие). Именно следующая лемма позволяет сделать эту замену.

Лемма 5.18. Если избирательная система обладает свойствами монотонности, гражданского полноправия, и удовлетворяет крите- рию НПА, то она обладает также и свойством единогласия.

Вопрос 5.19. Объясните, почему из леммы 5.18 и сильной формы теоремы Эрроу следует первоначальный вариант теоремы Эрроу, ко- торый мы сформулировали в гл. 4.

К этому моменту мы уже доказали несколько утверждений «если- то», так что вы уже освоились с ними. Как вы могли заметить, хоро- шее начало для любого доказательства —разобраться, что мы можем предполагать и что мы должны показать. Давайте посмотрим, можете ли вы справиться с этими двумя компонентами доказательства лем- мы 5.18.

Вопрос 5.20*. Что мы должны предполагать для доказательства леммы 5.18? Что нам следует попытаться показать?

Итак, давайте предположим, что избирательная система V обла- дает в точности теми свойствами, которые вы определили в вопро- се 5.20. Теперь мы должны показать, что если каждый избиратель предпочитает А кандидату В, то и в общественном порядке предпо- чтений, к которому приводит V, А будет предпочтительнее В. Мы начнем с предположения, что нам задан некоторый произвольный профиль предпочтений, допустим, S, в котором каждый избиратель предпочитает А кандидату В. После этого мы попытаемся объяснить, почему при заданном профиле S в общественном порядке предпочте- ний А будет предпочтительнее В. Для этого мы должны рассмотреть два других профиля предпочтений, связанных с S. Первый из них обозначим через 5' —это произвольный профиль предпочтений, для которого А будет выше В в итоговом общественном порядке предпо- чтений.

Вопрос 5.21. Какое свойство V из тех, что вы предполагали, поз- воляет вам сделать вывод, что такие профили предпочтений как s' действительно существуют?

Передвинув только А в индивидуальных списках предпочтений, составляющих S', получим новый, второй профиль предпочтений, в котором каждый избиратель предпочитает А кандидату В. Обозна- чим этот новый профиль S".

Вопрос 5.22. (а) Как отличаются профили предпочтений s' и s" относительно только индивидуальных предпочтений между кандида- тами л и в?.

(б) Какой вывод об общественных предпочтениях между канди- датами Л и В, К которым приводит V при заданном S", позволяет вам сделать ваш ответ на пункт (а)? Какое свойство V из тех, что вы пред- полагали, позволило вам сделать такой вывод?

(в) Как отличаются профили предпочтений S и S" относительно только индивидуальных предпочтений между кандидатами Л и В?

(г) Какой вывод об общественных предпочтениях между канди- датами Л и В, к которым приводит V при заданном S, позволяет вам сделать ваш ответ на пункт (в)? Какое свойство V из тех, что вы пред- полагали, позволило вам сделать такой вывод?

Вопрос 5.23*. Какой вывод об избирательной системе V и свой- стве единогласия позволяет вам сделать ваш ответ на вопрос 5.22? Можно ли считать доказательство леммы 5.18 на этом законченным? Объясните ваш ответ.

Возможные решения

Теперь, когда мы убедились, что обе формы теоремы Эрроу спра- ведливы, давайте рассмотрим некоторые различные способы, кото- рые могут помочь нам разрешить трудности, выявленные в исследо- ваниях Эрроу.

Ослабление условия Парето

Как мы видели в гл.4, единогласие (условие Парето) —это до- вольно сильное свойство. С одной стороны, оно исключает возмож- ность того, что два кандидата займут одинаковую позицию в об- щественном порядке предпочтений, если один кандидат единоглас- но предпочтительнее другого. Но, как мы уже убедились, именно такая ситуация возникает в случаях относительного большинства или последовательного исключения, когда несколько кандидатов приходят к равным результатам и у них нет голосов за первое место. К счастью, первоначальное условие Парето единогласия может быть изменено (лишь немного), чтобы принимать во внимание ничью между кандидатами.

Модифицированное условие Парето. Если на выборах есть та- кая пара кандидатов, допустим А и В, что каждый избиратель пред- почитает А кандидату В, то в итоговом общественном порядке пред- почтений В должен оказаться не выше А.