Вопрос 6.16*. Рассмотрим еще раз трех акционеров Captain Ahab's Fish & Chips.

(а) Перечислите все возможные мены между коалициями {Нико- лае} и {Дуг, Элизабет}.

(б) Перечислите все возможные мены между коалициями {Дуг} и {Дуг, Николас}.

(в) Предположим, что акционеры решили использовать эксцен- тричную избирательную систему, в которой есть только две побежда- ющие коалиции — {Николас} и {Дуг, Элизабет}. Устойчива ли к мене .)та эксцентричная избирательная система? Объясните ваш ответ.

(г) Предположим теперь, что акционеры решили использоват другую избирательную систему, в которой есть только такие побе дающие коалиции — {Николас}, {Дуг, Элизабет}, {Дуг} и {Элизабет}| Устойчива ли к мене эта новая избирательная система? Объясни ваш ответ.

Вопрос 6.17. Является ли какая-нибудь избирательная системе из пунктов (в) и (г) вопроса 6.16 избирательной системой с весом^ Приведите убедительные доводы, подтверждающие ваш ответ.

Теперь давайте исследуем подробнее взаимосвязи между свой! ствами (избирательной системы типа да/нет) «быть системой с ве| сом» и «быть устойчивой к мене». Мы начнем с того, что рассмотрим произвольную избирательную систему с весом. Для этой системы мь изучим, как влияют мены на веса двух ее побеждающих коалиций! Мы надеемся, что это позволит нам сделать важные выводы о том,| должна ли система быть устойчивой к мене.

Вопрос 6.18*. Пусть V — избирательная система с весом, a Cj и с2 — две ее побеждающие коалиции.

(а) Как связаны веса коалиций С, и С₂ и квота V?

(б) Предположим, что между С, и С₂ произошла мена. Как сумма| весов С_г и С₂ после мены связана с суммой весов С, и С₂ до мены?

(в) Могут ли обе коалиции С_г и С₂ стать проигрывающими после| мены? Четко объясните ход ваших рассуждений.

(г) Какой вывод об устойчивости системы V к менам позволяют| вам сделать ваши ответы на пункты (а)—(в)?

Если с вопросом 6.18 все было в порядке, вы обнаружили, что! устойчивость к менам —это свойство, которым должны обладать все! избирательные системы с весом (это напоминает свойство «быть! теплокровным», которым, как мы заметили, должны обладать все| млекопитающие). Следующая теорема формализует эту идею.

Теорема 6.19. Каждая избирательны система с весом устойчи- ва к менам.

Вопрос 6.20*. Предположим, что для некоторой системы да/нет I вы нашли мену между двумя побеждающими коалициями, которая приводит к тому, что обе коалиции становятся проигрывающими. Ка- кой вывод вы могли бы сделать об этой системе?

Вопрос 6.21*. Предположим, вы обнаружили, что некоторая из- бирательная система типа да/нет устойчива к мене. Можете ли вы заключить, что это система с весом? Приведите убедительные дово- ды или пример, подтверждающий ваш ответ. (Подсказка. Возможно,

мам будет полезно вернуться обратно к предыдущим вопросам этого раздела.)

Вопрос 6.22. Какой вы можете сделать вывод о федеральной системе Психозии в свете нескольких последних вопросов и теоре- мы 6.19? Устойчива ли она к менам? Является ли она избирательной системой с весом? Приведите убедительные доводы, подтверждаю- щие каждый из ваших ответов.

Устойчивость к сделке

В последнем разделе мы видели, что любая избирательная систе- ма с весом устойчива к мене. Тем не менее, мы видели также, что \\я избирательных систем типа да/нет свойство «быть устойчивой к мене» не вполне эквивалентно свойству «быть системой с весом». Как мы знаем из вопроса 6.21, могут существовать (и существуют в действительности) избирательные системы типа да/нет, которые устойчивы к мене, но не являются системами с весом.

К этому моменту нам кажется вполне естественным посмотреть, нельзя ли найти такое свойство избирательных систем типа да/нет (возможно, связанное с устойчивостью к мене или аналогичное ему), которое действительно было бы эквивалентно свойству «быть систе- мой с весом». Вот один из возможных кандидатов:

Определение 6.23.

• В любой избирательной системе типа да/нет произвольный об- мен избирателями (не обязательно один-на-одного) между по крайней мере двумя коалициями системы называется сделкой.

• Избирательная система типа да/нет называется устойчивой к сделке тогда и только тогда, когда любая возможная сделка между побеждающими коалициями оставляет хотя бы одну из коалиций побеждающей.