Вопрос 1.19*. Предположим, что граждан** гикивилля решили использовать систему с квотой для выборов hohoi о мэра Каким будет результат выборов в каждом из следующих сценариев?

(а) Квота = 51; Довелл получил 51 голос, а Штуцман — 50.

(б) Квота = 40; Довелл получил 51 голос, а Штуцман —50.

(в) Квота = 6о; Довелл получил 51 голос, а Штуцман —50.

(г) Квота = ioi; Довелл получил юо голосов, а Штуцман — i.

(д) Квота = о; другой информации нет.

Вопрос 1.20*. Можно ли назвать избирательную систему Кларка из вопроса 1.9 системой с квотой? Объясните ваш ответ.

Вопрос i.2i. Какие из четырех рассмотренных нами избиратель- ных систем (диктатура, правило навязанного выбора, правило мень- шинства, правило большинства) являются системами с квотой? При- ведите убедительные доводы, подтверждающие ваш ответ для каждой системы.

Теперь мы готовы рассмотреть следующую теорему, из которой вытекает теорема Мэя.

Теорема 1.22. Если избирательная система на выборах с двумя кандидатами анонимна, нейтральна и монотонна, то это система с квотой.

Доказывать утверждение вроде теоремы 1.22 —все равно, что рас- путывать детективную историю. Наш подозреваемый, неизвестная избирательная система, которую мы обозначим V, оставил за собой улики, которые позволят нам сделать заключение, что вне всяких сомнений, У—действительно система с квотой. Первые три улики состоят в том, что V анонимна, нейтральна и монотонна. Кроме того, нам известно, что для любой комбинации голосов в выборах с двумя кандидатами V должна позволять нам точно определить, какой кандидат (или кандидаты) побеждает. (Собственно говоря, для этого

п предназначена избирательная система.) Помня об этом, все, что мы | жны сделать, — задать V нужные вопросы. Ответы на них помогут определить величину, которая может служить квотой для V. Как i ко мы найдем эту потенциальную квоту, скажем, q, нам останется только убедиться, что V—не просто произвольная избирательная сис- тема, а на самом деле система с квотой, равной q.

Следующий вопрос относится к тому, какую информацию мож- но попытаться извлечь из V, и как использовать эту информацию для ЯЛ ккания возможной квоты системы V.

Вопрос 1.23. Предположим, что для выборов с двумя кандидата- ми, Джен и Брайаном, вам известно следующее о системе V. (Пусть Джоэль и Грейс—двое из многих избирателей, принявших участие и выборах.)

• Рели никто не проголосовал за Джен, то согласно V Джен не будет выбрана победителем.

• ВС in только Джоэль проголосовал за Джен, то согласно V Джен не (>\<)ст выбрана победителем.

• I «л и Джоэль и Грейс проголосовали за Джен, то согласно V Джен 6v<Vm выбрана победителем.

Используя только эту информацию и тот факт, что V анонимна, I ральна и монотонна, можете ли вы заключить, что V — система с квотой? Если это так, то чему может быть равна квота? Приведи- ie убедительные доводы, чтобы подтвердить ваш ответ. Будьте гото- клзать точно, в каком месте ваших рассуждений вы использова- | чдое из свойств анонимности, нейтральности и монотонности. казка. Возможно, вы захотите вернуться и внимательно перечи- III определение 1.18.)

Вопрос 1.23 показывает, что как только мы извлекли необходимую информацию, V начинает сильно напоминать систему с квотой. Ко- |ю же, в этом вопросе вся нужная информация была нам препод- 1HI блюдечке с голубой каемочкой. Мы не можем ожидать, что • \ м настолько удачливы всегда, но, как мы уже заметили, мы мо- • I 1ити всю нужную информацию, просто задавая V правильные вопросы.

Вопрос 1.24*. Рассмотрим выборы, в которых участвуют два | in \\\ *лта, А и В, и п избирателей, которых мы обозначим r₁₉ v₂, v₃,...

1,, (Ламетьте, что п обозначает некоторое произвольное число и »оирл гелей.) Предположим, что мы задали V следующую последова- и Him* ть вопросов относительно выборов:

• Если никто не проголосует за кандидата А, будет ли он объявлен победителем?

• Если только Vj проголосует за кандидата > \^%г ш он объявлен победителем?

• Если Vj и v₂ проголосуют за кандид п а \ у\< i in он объявлен победителем?

• Если v₂ и v₃ проголосуют за кандидата /\, оудг i ли он объявлен победителем?

• Если v₂, v₃,..., v_n_j и v_n проголосуют за кандидата Л, будет ли он объявлен победителем?

Объясните, как можно использовать и мы системы V на эти во- просы, чтобы определить величину, которая может служить квотой для V. Можно ли определить эту возможную квоту, не задавая всех этих вопросов? Почему?

Вопрос 1.25*. Предположим, что метод, предложенный в вопро- се 1.24, был использован для того, чтобы определить возможную квоту, скажем, q, для V. Объясните четко, почему каждое из следу- ющих утверждений должно быть истинным В ваших ответах должен использоваться тот факт, что V анонимна, нейтральна и монотонна.

(а) Если ровно q избирателей (неважно, кто именно) проголосу- ют за кандидата А, то согласно системе V он будет объявлен победи- телем.

(б) Если больше q избирателей (неважно, кто именно) проголосу- ют за кандидата А, то согласно системе V он будет объявлен победи- телем.

(в) Если ровно q — i избирателей (неважно, кто именно) прого- лосуют за кандидата А, то согласно системе V он не будет объявлен победителем.

(г) Если меньше q — i избирателей (неважно, кто именно) прого- лосуют за кандидата Л, то согласно системе V он не будет объявлен победителем.

(д) Все перечисленные выше заключения применимы и к канди- дату В.

Вопрос 1.26. Используйте ваши отвеуы на вопросы 1.24 и 1.25, чтобы четко объяснить, почему теорема 1.22 справедлива. Другими словами, объясните, почему в выборах с двумя кандидатами любая анонимная, нейтральная и монотонная избирательная система долж- на быть системой с квотой

Вернемся к теореме Мэя

Теперь, когда мы понимаем, в чем смысл теоремы 1.22 и почему Ьна верна, мы можем, наконец, приступить к теореме Мэя. Напом- дам, что в теореме 1.22 утверждается, что в выборах с двумя кандида- тами любая анонимная, нейтральная и монотонная система должна Гбыть системой с квотой. (Кстати, нетрудно видеть, что обратное к это- му утверждению тоже верно; т. е. любая система с квотой в действи- тельности анонимна, нейтральна и монотонна.) Теорема Мэя говорит нам, что если мы дополнительно предположим, что число избирате- лей нечетно и что ничейный исход недопустим, то система не толь- ко должна быть системой с квотой, но даже должна совпадать с пра- вилом большинства. Таким образом, мы докажем теорему Мэя, если убедимся, что для выборов с двумя кандидатами и нечетным числом избирателей правило большинства — это единственная система, кото- рая исключает ничейный результат.

Вопрос 1.27*. Предположим, что в выборах с двумя кандидатами и п избирателями используется правило большинства (система с кво- той). Опишите, как найти квоту в этом случае. (Подсказка. Этот во- прос гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Вы уже очень мно- го знаете о правиле большинства, так что используйте вашу интуи- цию и не забывайте, что квота должна быть целым числом.)

Теперь мы докажем, что для нечетного числа избирателей един- ственная система с квотой, исключающая ничейный результат — это система с квотой, которую вы нашли в вопросе 1.27.