Последовательное попарное голосование

В определение победителя по Кондорсё входит понятие борьбы двух кандидатов один-на-один. Это дает нам повод искать систему, удовлетворяющую критерию победителя по Кондорсё, в таком виде, чтобы в ней использовались результаты борьбы кандидатов один-на- один для того, чтобы определить победителя. Поскольку мы рассмат- риваем выборы, в которых участвуют больше двух кандидатов, нам придется проявить творческий подход. Провести лишь одни выборы с двумя кандидатами вовсе не достаточно. Но возможно, если мы проведем ряд выборов с двумя кандидатами, нам удастся собрать достаточно информации, чтобы определить победителя. Если нам повезет, этот победитель будет победителем выборов по Кондорсё, как мы и хотели.

Чтобы проиллюстрировать один такой метод, давайте вернемся к выборам президента БААОМ из предыдущей главы (вопрос 2.8). Напомним, что предпочтения 27 членов БААОМ задаются профилем предпочтений в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Профиль предпочтений для выборов БААОМ

	Число проголосовавших
Место	12	7	5	3
i 2 3 4	ф д Э И	Д э и ф	э и ф д	и э д ф

Напомним еще, что для этих выборов правило относительного большинства приводит к общественному порядку предпочтений Ф >- >- Д >- Э у И, а правило Борда — кД^Э^Ф^И. Теперь посмот- рим, к какому порядку предпочтений приведут выборы, состоящие из последовательных попарных сравнений кандидатов. Мы будем проводить эти выборы так:

Шаг i. Вначале мы предложим избирателям выбирать между Джеральдом и Элен. Это выборы с двумя кандидатами, и чтобы опре- делить победителя в них, мы воспользуемся правилом большинства.

Шаг 2. Затем мы предложим избирателям выбирать между Фи- лицем и победителем на первом шаге, опять воспользовавшись пра- вилом большинства для определения победителя.

Шаг з. И наконец, мы предложим избирателям выбирать между Иваном и победителем на втором шаге. Затем мы объявим победите- ля (согласно правилу большинства) в этих выборах победителем вы- боров вообще.

Вопрос 3.9*. (а) Кто победит на выборах президента бааом со- гласно методу, описанному в шагах I—3 выше?

(б) Как вы думаете, какой порядок общественных предпочтений лучше всего отражает волю избирателей на этих выборах согласно методу, описанному в шагах 1—3 выше?

(в) Принимая во внимание результаты этих выборов по правилу относительного большинства и правилу Борда, не кажется ли вам что- либо в ваших ответах на пункты (а) и (б) странным и необычным? Объясните ваш ответ.

(г) Есть ли на этих выборах победитель и/или проигравший по Кондорсе? Объясните ваш ответ.

В то время как ваш ответ на вопрос 3.9 может и не пролить мно- го света на то, кто в действительности должен быть объявлен побе- дителем на следующих выборах президента БААОМ, он, по крайней мере, демонстрирует способ определить победителя на выборах, в ко- торых участвуют больше двух кандидатов, используя последователь- ность выборов с двумя кандидатами. Такая избирательная система из- вестна как последовательное попарное голосование.

Прежде чем двигаться дальше, мы должны остановиться на неко- торое время и рассмотреть важное отличие последовательного попар- ного голосования от других уже рассмотренных нами систем. Заме- тим, что с правилом относительного большинства и правилом Борда у нас не было никаких проблем при построении общественного по- рядка предпочтений на основании результатов выборов. Поэтому вы, возможно, предположите, что то же самое нас ожидает в пункте (б) вопроса 3.9. Действительно, вы могли бы собрать результаты борь- бы один-на-один, и придти к общественному порядку предпочтений И >- Ф >- Д >- Э. Он представляется вполне естественным. В конце концов, если Иван побеждает Филица, а Филиц побеждает Джеральда, го Иван обязательно должен победить Джеральда, не так ли? Но ока- лывается, в этом случае все получается не совсем так, как вы ожидали. Хотя Иван побеждает Филица в борьбе один-на-один, и, аналогично, Филиц побеждает Джеральда в борьбе один-на-один, в действительно-

сти Иван проиграет Джеральду (и с ошеломляющим отрывом!), если избирателям предложить выбирать между ними. Вернитесь к вопро- су з-4> чтобы получить еще один пример необычной ситуации такого вида. Там происходит нечто подобное, и возможно, вы даже указали на это в вашем собственном ответе на пункт (г) этого вопроса.

Если от всех этих странностей у вас кружится голова, попытайтесь утешить себя тем, что вы не одиноки. Если вы еще не заметили, тео- рия голосования полна головоломных аномалий, которые мы часто будем называть парадоксами¹ голосования. На самом деле пример из вопроса 3.4 называется парадоксом Кондорсё и хорошо известен в сфе- ре парадоксов голосования.

Вернемся к нашему обсуждению общественных порядков пред- почтения. Надо сказать, что последовательное попарное голосование не всегда приводит к четко определенному общественному порядку предпочтений. Есть несколько подходов к этой проблеме, но сейчас мы просто определим общественный порядок предпочтений при по- следовательном попарном голосовании таким образом, что победи- тель займет первое место, а остальные кандидаты разделят второе. В примере из вопроса 3.9 мы обозначим построенный порядок как И >- Ф « Д « Э. Заметим, что точно так же, как мы использовали изогнутый вариант знака «больше» для обозначения предпочтений между двумя кандидатами О вместо >), мы будем использовать изо- гнутый вариант знака равенства для обозначения равного результата кандидатов вместо =). И с этих пор мы будем использовать это обозначения для случаев, когда метод относительного большинства или правило Борда или еще какая-нибудь изоир.иельная система приводит к ничейному результату между двумя кандидатами в обще- ственном порядке предпочтений.

И наконец, последний штрих: те из вас, к го чо|м>шо разобрался в вопросе, могут с недоверием отнестись к пред i<>«. «иному выше ре- шению. В конце концов, даже порядок предпочоции 11>-Ф«Д«Э означает, что И побеждает Д в борьбе оди 1 111, но мы знаем,

*В словаре Вебстера парадокс определяется к.н< принцип и ш суждение, проти- воположное общепринятому мнению; утверждешн* и ш ищущ-1114 на первый взгляд противоречащее или противоположное здравому cmi.ii чу. шш н|и»ц шодит впечатление абсурдного, но на самом деле может быть истинным

что на самом деле это не так. Если вы столь п« шик . ки настроены, то имеете для этого все основания —мы вовсе не решили полностью задачу, которую поставили перед собой. По иге гаки мы несколько прояснили ситуацию, исключив возможные ю юн.с с равнения между проигравшими кандидатами. Помните также, «но \л*е если Д побеж-

дает И в борьбе один-на-один, все-таки И — единственный победи- тель при последовательном попарном голосовании. В этом смысле И действительно предпочтительнее Д, точно так же, как по правилу от- носительного большинства Вентура был предпочтительнее Колемана и Хамфри вместе взятых, хотя и проиграл бы каждому из них в борьбе один-на-один. Итак, мы убеждаемся, что как и в многих других из- бирательных системах, в последовательном попарном голосовании содержится больше, чем кажется на первый взгляд. Как говорит радиокомментатор Пол Харви, «через несколько секунд вы узнаете, чем все кончилось». Но вначале давайте посмотрим, как последова- тельное попарное голосование соотносится с критериями Кондорсе.

Вопрос зло. (а) Может ли победитель по Кондорсе проиграть в борьбе один-на-один какому-либо другому кандидату? Объясните ваш ответ.

(б) Какой вывод вы можете сделать на основании вашего ответа на пункт (а) о последовательном попарном голосовании и критерии победителя по Кондорсе?

Вопрос з.и. Удовлетворяет ли последовательное попарное голо- сование критерию проигравшего по Кондорсе? Если да, то объясните почему. В противном случае приведите пример профиля предпочте- ний, когда проигравший по Кондорсе выигрывает выборы при после- довательном попарном голосовании.

Итак, если отбросить в сторону задачу отыскания общественного порядка предпочтений, можно ли назвать последовательное попар- ное голосование удачной системой для определения победителя на выборах, в которых больше двух кандидатов? По крайней мере, на первый взгляд она выглядит очень многообещающей. В конце концов, при последовательном попарном голосовании всегда выигрывает по- бедитель по Кондорсе, если он существует. А что же происходит в си- туации, когда победителя по Кондорсе нет, как в случае с выборами президента БААОМ?

Мы можем приступить к ответу на этот вопрос, заметив одно свойство последовательного попарного голосования, которое вы, мо- жет быть, уже обнаружили самостоятельно: при последовательном попарном голосовании порядок, или последовательность, в котором новые кандидаты вступают в борьбу один-на-один, должен быть задан до того, как эта борьба началась. Такая, по-видимому безобидная, последовательность называется расписанием, и чтобы обозначить ее, обычно просто перечисляют кандидатов в том порядке, в котором они должны приступать к борьбе один-на-один. Например, в шагах 1—3

перед вопросом 3.9 для выборов президента БААОМ мы использовали такое расписание: Д, Э, Ф, И.